29点到直线的距离公式

2.1.6点到直线的距离学习目标重点难点1.学会点到直线的距离公式.2.会求两平行线间的距离.3.进一步学习用解析法证明平面几何问题.重点:掌握点到直线的距离公式.难点:用解析法证明几何问题.1.点到直线的距离(1)从直线外一点向该直线引垂线,所得垂线段的长度称为点到直线的距离.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为(2)点到几种特殊直线的距离:点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|;点P(x0,y0)到直线y=b的距离d=|y0-b|.交流1点到直线的距离公式对直线方程的形式有何要求?答案：该公式要求直线方程必须是一般式.d=|𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶|𝐴2+𝐵2.交流2当点P(x0,y0)在直线l:Ax+By+C=0上时,点到直线的距离公式还适用吗?答案：适用.当P在l上时,有Ax0+By0+C=0,d=|𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶|𝐴2+𝐵2=0𝐴2+𝐵2=0.2.两平行线间的距离两平行线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2,A2+B2≠0)间的距离交流3(1)直线3x+4y-1=0与3x+4y+5=0的距离为;(2)直线3x+2y-2=0与6x+4y+5=0的距离为;(3)点P(2,3)到直线x-y+1=0的距离为;(4)点(1,0)到直线y-3=0的距离是.d=|𝐶1-𝐶2|𝐴2+𝐵2.解析：(1)d=|-1-5|32+42=65.(2)6x+4y+5=0可化为3x+2y+52=0,d=-2-5232+22=9213=92613.(3)由点到直线的距离公式得d=|2-3+1|1+1=0.(4)如图所示,所求的距离为|3-0|=3.答案：(1)65(2)92613(3)0(4)3典例导学一二三即时检测一、点到直线的距离求点P(1,2)到下列直线的距离:(1)l1:y=x-3;(2)l2:y=-1;(3)y轴.思路分析：直线方程及点的坐标均明确给出,求解的关键是把直线方程化成一般式,直接代入公式求解.必要时数形结合更方便.解：(1)将直线方程化为一般式为x-y-3=0,由点到直线的距离公式得d=|1-2-3|12+(-1)2=22.(2)直线方程化为一般式为y+1=0,由点到直线的距离公式得d=|2+1|02+12=3.(3)y轴的方程为x=0,由点到直线的距离公式得d=|1+0|12+02=1.典例导学一二三即时检测1.已知点(a,2)(a0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a=.解析：由题意知|𝑎-2+3|2=1,∴a=-1±2.∵a0,∴a=2-1.答案：2-12.点P在x轴上,点P到直线l1:x-y+7=0与直线l2:12x-5y+40=0的距离相等,求P点坐标.3解：设P(x0,0),根据点P到l1,l2的距离相等,列式为|𝑥0-3×0+7|12+(-3)2=|12𝑥0-5×0+40|122+(-5)2.解得x0=1或x0=-17137.所以P点坐标为(1,0)或-17137,0.典例导学一二三即时检测对点到直线的距离的几点说明:(1)此公式适用于P0为平面内任意一点,特别地,当P0在直线上时,点P0到直线的距离为零.(2)几种特殊情况下的点到直线的距离.①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;③点P(x0,y0)到平行于y轴的直线x=a的距离为d=|x0-a|;④点P(x0,y0)到平行于x轴的直线y=b的距离d=|y0-b|.典例导学即时检测一二三二、两平行线间的距离求直线l1:3x-4y=-1与直线l2:x-2y-1=0间的距离.思路分析：已知两平行直线的方程,求解本题时可考虑利用等价转化法和公式法.需注意应用公式法解答本题时应把直线l1,l2的方程化成一般式,且x,y的系数相同.32典例导学即时检测一二三解：(方法一:等价转化法)∵l1∥l2,∴两直线间的距离等于直线l1上任意一点到直线l2的距离.不妨在直线l1上取点P(1,1),则该点到直线l2的距离为(方法二:公式法)把直线l1,l2的方程分别化成一般式得l1:3x-4y+1=0,l2:3x-4y-2=0.d=32×1-2×1-194+4=35.由两平行线间的距离公式得d=|1+2|9+16=35.典例导学即时检测一二三1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是.解析：设所求直线方程为3x-4y+c=0,由条件得,解得c=16或-14.∴所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.答案：3x-4y+16=0或3x-4y-14=0|𝑐-1|5=3典例导学即时检测一二三2.若两平行直线3x-2y-1=0和6x+ay+c=0之间的距离是21313,则𝑐+2𝑎=.解析：∵3x-2y-1=0和6x+ay+c=0平行,∴36=-2𝑎,∴a=-4.∵3x-2y-1=0和6x+ay+c=0之间的距离为21313,∴𝑐2+113=213,∴𝑐2+1=2,∴c=2或c=-6.∴𝑐+2𝑎=±1.答案：±1典例导学即时检测一二三两平行线间的距离的计算方法(1)两条平行直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一直线的距离,本质上是点到直线的距离.具体求两平行直线间的距离时,只需在其中一条直线上取一特殊点,再求它到另一条直线的距离.(2)若两平行直线方程中x,y的对应系数分别相等,即l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2,A2+B2≠0),可直接使用公式.d=|𝐶1-𝐶2|𝐴2+𝐵2典例导学即时检测一二三三、距离公式的综合应用已知直线l经过点P(3,1)且被两平行直线l1:x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的线段长为5,求直线l的方程.思路分析：本题求直线l的方程,现知两个条件:①过定点(3,1),②被平行线l1,l2截得的线段长为5.可画出它们的图形,利用平面几何知识求斜率;也可设出斜率,利用距离公式求出k.典例导学即时检测一二三解：设两平行线x+y+1=0和x+y+6=0的距离为d,则d=|6-1|2=522.如图,设∠PBB'=θ=∠PB'B,则sinθ=22,∴θ=45°,∵两平行直线的斜率为-1,故所求直线的斜率不存在或为零,由于直线过点P(3,1),故所求直线l的方程为x=3或y=1.典例导学即时检测一二三1.已知点A(4,-3)与B(2,-1)关于直线l对称,在l上有一点P,使P点到直线4x+3y-2=0的距离等于2,则P点坐标为.解析：∵A,B两点的对称轴方程为x-y-5=0,∴可设P点坐标为P(a,a-5).由点到直线的距离公式得|4𝑎+3(𝑎-5)-2|5=2.解之,得a=1或277.∴P(1,-4)或P277,-87.答案：277,-87或(1,-4)典例导学即时检测一二三2.在函数y=4x2的图象上求一点P,使P到直线y=4x-5的距离最短,并求这个最短的距离.解：直线方程化为4x-y-5=0.设P点坐标为(a,4a2),则点P到直线的距离为d=|4𝑎-4𝑎2-5|42+(-1)2=(2𝑎-1)2+417.所以当a=12时,点P12,1到直线的距离最短,最短距离为41717.到目前,已学习的距离包括两点间的距离、点到直线的距离及两平行线间的距离.涉及距离的问题常常结合以上三个公式,利用已知条件有效地组合运用,需特别注意的是点到直线的距离及两平行线间的距离的适用条件,不可错用.典例导学12345即时检测1.已知点P(x,y)在直线2x+y+5=0上,则x2+y2的最小值为()A.5B.25C.5D.210解析：x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5=0上的点与原点连线长度的平方最小值,即为原点到该直线的距离的平方d2,由点到直线的距离公式,故x2+y2的最小值为5.答案：C易得d=|2×0+0+5|22+12=5.典例导学即时检测123452.若点(2,2)到直线3x+4y+c=0的距离为5,则c=.解析：∵d=|3×2+4×2+𝑐|32+42=5,∴|c+14|=25,∴c=11或-39.答案：11或-39典例导学即时检测123453.直角坐标系中第一象限内的一点P(x,y)到x轴、y轴及直线x+y-2=0的距离都相等,则x等于.解析：由题意得|𝑥|=|𝑦|,|𝑥+𝑦-2|2=|𝑥|,𝑥0,𝑦0,即𝑥=𝑦,|𝑥+𝑦-2|=2𝑥.∴2x-2=±2x,x=2±2.答案：2±2典例导学即时检测123454.P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上的任一点,则线段PQ的最小值为.解析：PQ的最小值就是两平行线间的距离.在直线3x+4y-12=0上任取一点,如(4,0),然后利用点到直线的距离公式求距离,即d=|6×4+8×0+6|62+82=3010=3.答案：3典例导学即时检测123455.已知两平行直线l1:3x+4y+5=0,l2:6x+8y-15=0,求与l1,l2距离相等的直线l的方程.解：将l2的方程化为3x+4y-152=0,∵l∥l1,l∥l2,∴设l的方程为3x+4y+c=0.∵l与l1,l2的距离相等,∴|5-𝑐|32+42=-152-𝑐32+42,解得c=-54.∴l的方程为12x+16y-5=0.