初中三角函数基础知识完整剖析(全)

曲老师推荐中考数学专题之：初中三角函数完整剖析一、重点、难点剖析１.正切、余切与已学过的正弦、余弦是初中阶段必须理解并掌握的锐角三角函数，由于任意一个锐角都可以看作是直角三角形的一个角（显然这样的直角三角形都是相似的）．因此，我们在直角三角形中，就可以对这个锐角Ａ作出如下的定义：sinA＝ca,cosA＝cb,tgA＝ba,ctgA＝ab.其中a、b分别为∠Ａ的对边和邻边，c为斜边．学习锐角三角函数时首先要熟知定义，切不可以张冠李戴，只有在理解的基础上熟记，在运用中加深理解．２.学习正切和余切时，要充分利用学过的正弦和余弦，经常地把它们加以比较，就会既见到许多相类似的地方，又重视它们的区别，不至于产生混淆．如，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝９０°．sinA＝cosB＝ca;cosB＝sinB＝cb;tgA＝ctgB＝ba;ctgA＝tgB＝ab.这种互为余角的三角函数关系，为我们把它化为同角的三角函数创造条件，这在解题中是经常用到的．若∠α、∠β都是锐角，且∠α＞∠β．则sinα＞sinβ;tgα＞tgβ;cosα＜cosβ;ctgα＜ctgβ.可见一个锐角的正弦值（或正切值）随着锐角的增大而增大；余弦值或余切值随着锐角的增大而减小，这就为比较三角函数值的大小提供了依据．如，比较tg43°与ctg57°的大小∵tg43°＝tg(90°－47°)＝ctg47°,而ctg47°＞ctg57°即tg43°＞ctg57°值得一提的事，比较两个三角函数值的大小，通常总是先把它们化为同名三角函数.cABaCb３．要熟记特殊角的三角函数值学习正弦和余弦时已经知道，30°、45°、60°称为特殊角，对于这些角的各个三角函数值应用极为广泛，必须熟记．角度α函数值函数名称30°45°60°正弦sinα212223余弦cosα232221正切tgα33１3余切ctgα3１33怎样熟记呢？正弦、余弦的30°、45°、60°值的分母都是2，而分子，正弦为1（＝１）、2、3；余弦为3、2、1（＝１），分别读作根号１、２、３；根号３、２、１．正切、余切的30°、45°、60°值的分母都是３，分子则为（3）1、(3)2、(3)3,即tg3０°＝33＝3)3(1，tg45°＝23)3(＝33＝1tg60°＝33)3(＝333＝3.余切则相反．必须告诉大家，0°、90°也是特殊角，且sin０°＝０，cos0°＝1,tg0°＝0,ctg0°不存在；sin９０°＝１，cos90°＝1,tg90°不存在，ctg90°＝０．因此，今后我们指的特殊角是：0°、30°、45°、60°、90°．４．同角三角函数间的关系同角三角函数间存在以下关系：平方关系：sin２α＋cos2α＝1;商的关系：tgα＝cossin,ctgα＝sincos;倒数关系：tgα＝ctg1,ctgα＝tg1.这些关系不仅在学习中，解题时用处很大，而且对这些关系的真正掌握也是有助于对三角函数定义的理解．如，sin２α＋cos2α＝（ca）２＋（cb）２＝22+2cba＝１(c2＝a2＋b2);ctgcos＝abcb＝ca＝sinα;tgα·ctgα＝ba·ab＝1,即tgα＝ctg1．acABaCbacb