2016年湖南省四大名校高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(解析版)

第1页（共19页）2016年湖南省四大名校高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数i（3﹣i）的共轭复数是（）A．1+3iB．1﹣3iC．﹣1+3iD．﹣1﹣3i2．设U=R，A={x|2x＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩∁UB=（）A．{x|x＜0}B．{x|x＞1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x＜1}3．计算sin47°cos17°+cos47°cos107°的结果等于（）A．B．C．D．4．已知向量，，若，则m=（）A．﹣1B．0C．1D．25．已知抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线距离为1，则a=（）A．4B．2C．D．6．下列命题是假命题的是（）A．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβC．向量=（﹣2，1），=（﹣3，0），则在方向上的投影为2D．“|x|≤1”是“x＜1”的既不充分也不必要条件7．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率是，则该双曲线两渐近线夹角是（）A．B．C．D．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+b2﹣c2）tanC=ab，则角C的值为（）A．或B．或C．D．9．设变量x、y满足约束条件，则z=32x﹣y的最大值为（）A．B．C．3D．910．如图所示程序框图中，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最小的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）第2页（共19页）A．c＜xB．x＜cC．c＜bD．b＜c11．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则侧视图的面积是（）A．8B．C．4D．12．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．（﹣∞，0]C．[﹣2，﹣1]D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．设函数，若f（x）为奇函数，则的值为______．14．已知点A（1，0），过点A可作圆x2+y2+mx+1=0的两条切线，则m的取值范围是______．15．已知，则=______．16．已知函数f（x）=|x2﹣2ax+b|（x∈R），给出下列命题：①∃a∈R，使f（x）为偶函数；②若f（0）=f（2），则f（x）的图象关于x=1对称；③若a2﹣b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数；第3页（共19页）④若a2﹣b﹣2＞0，则函数h（x）=f（x）﹣2有2个零点．其中正确命题的序号为______．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{an}的前n项和Sn=k（2n﹣1），且a3=8．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和Tn．18．如图，AB是⊙O的直径，点C是弧上一点，VC垂直⊙O所在平面，D，E分别为VA，VC的中点．（1）求证：DE⊥平面VBC；（2）若VC=CA=6，⊙O的半径为5，求点E到平面BCD的距离．19．2015年下学期某市教育局对某校高三文科数学进行教学调研，从该校文科生中随机抽取40名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段[80，90），[90，100），[100，110），[120，130），[130，140）后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40个学生数学成绩的众数和中位数的估计值；（2）若从数学成绩[80，100）内的学生中任意抽取2人，求成绩在[80，90）中至少有一人的概率．20．在平角坐标系xOy中，椭圆的离心率，且过点，椭圆C的长轴的两端点为A，B，点P为椭圆上异于A，B的动点，定直线x=4与直线PA、PB分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在定点经过以MN为直径的圆，若存在，求定点坐标；若不存在，说明理由．第4页（共19页）21．已知函数f（x）=x2﹣（﹣1）k2alnx（k∈N，a∈R且a＞0）．（1）求f（x）的极值；（2）若k=2016，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．选修4-1几何证明选讲22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD平分∠BAC交BC于D，交△ABC的外接圆于E．（1）求证：；（2）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．选修4-4坐标系与参数方程23．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的参数方程为为参数）．（1）判断C1与C2的位置关系；（2）设M为C1上的动点，N为C2上的动点，求|MN|的最小值．选修4-5不等式选讲24．已知a，b∈R，f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣1|．（1）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；（2）对∀b∈R，若|a+b|+|a﹣b|≥f（x）恒成立，求a的取值范围．第5页（共19页）2016年湖南省四大名校高考数学模拟试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数i（3﹣i）的共轭复数是（）A．1+3iB．1﹣3iC．﹣1+3iD．﹣1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简，则答案可求．【解答】解：∵i（3﹣i）=3i﹣i2=1+3i，∴复数i（3﹣i）的共轭复数是1﹣3i．故选：B．2．设U=R，A={x|2x＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩∁UB=（）A．{x|x＜0}B．{x|x＞1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x＜1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用对数函数的性质，求出集合B中不等式的解集，确定出集合B，利用指数函数的性质确定出集合B，由全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分，即可确定出所求的集合【解答】解：易知A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩CUB={x|0＜x≤1}，故选C．3．计算sin47°cos17°+cos47°cos107°的结果等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】有条阿金利用诱导公式、两角和差的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵，故选：D．4．已知向量，，若，则m=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积的运算即可求出．【解答】解：由已知得，第6页（共19页）又，∴，∴m=1，故选：C．5．已知抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线距离为1，则a=（）A．4B．2C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=ax2（a＞0）化为，可得．再利用抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为1，即可得出结论．【解答】解：抛物线方程化为，∴，∴焦点到准线距离为，∴，故选D．6．下列命题是假命题的是（）A．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβC．向量=（﹣2，1），=（﹣3，0），则在方向上的投影为2D．“|x|≤1”是“x＜1”的既不充分也不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，B寻找特殊值进行判断即可；C，D根据投影和充要条件的概念判断即可．【解答】解：A当φ=时，函数f（x）=sin（2x+）=cos2x是偶函数，故错误；B当α=﹣，β=时，能使cos（α+β）=cosα+cosβ，故正确；C则在方向上的投影为=2，故正确；D“|x|≤1，则﹣1≤x≤1，故是“x＜1”的既不充分也不必要条件，故正确；故选A．第7页（共19页）7．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率是，则该双曲线两渐近线夹角是（）A．B．C．D．【考点】两直线的夹角与到角问题；双曲线的简单性质．【分析】由离心率可得c=a，故可求得=，故一条渐近线的倾斜角等于30°，从而求得两渐近线夹角．【解答】解：∵，∴c=a，故在一、三象限内的渐近线的斜率为==，故此渐近线的倾斜角等于30°，故该双曲线两渐近线夹角是2×30°=60°，即，故选C．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+b2﹣c2）tanC=ab，则角C的值为（）A．或B．或C．D．【考点】余弦定理．【分析】已知等式整理后，利用余弦定理，以及同角三角函数间基本关系化简，求出sinC的值，即可确定出C的度数．【解答】解：在△ABC中，由已知等式整理得：=，即cosC=，∵cosC≠0，∴sinC=，∵C为△ABC内角，∴C=或，故选：A．9．设变量x、y满足约束条件，则z=32x﹣y的最大值为（）A．B．C．3D．9【考点】简单线性规划．第8页（共19页）【分析】首先由约束条件画出可行域，令2x﹣y=t，利用t的几何意义求出最值，然后求z的最值．【解答】解：约束条件对应的平面区域如图：令2x﹣y=t，变形得y=2x﹣t，根据t的几何意义，由约束条件知t过A时在y轴的截距最大，使t最小，由得到交点A（，）所以t最小为；过C时直线y=2x﹣t在y轴截距最小，t最大，由解得C（1，0），所以t的最大值为2×1﹣0=2，所以，故；故选D．10．如图所示程序框图中，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最小的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）第9页（共19页）A．c＜xB．x＜cC．c＜bD．b＜c【考点】程序框图．【分析】由于该程序的作用输出a、b、c中的最小数，因此在程序中要比较数与数的大小，第一个判断框是判断x与b的大小，故第二个判断框一定是判断最小值x与c的大小．【解答】解：则流程图可知a、b、c中的最大数用变量x表示并输出，第一个判断框是判断x与b的大小，∴第二个判断框一定是判断最大值x与c的大小，并将最大数赋给变量x，故第二个判断框应填入：x＞c，故选：A．11．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则侧视图的面积是（）A．8B．C．4D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】设出对面边长，表示出几何体的体积，求出边长，然后求解侧视图的面积．【解答】解：设底面边长为x，则，∴x=4．∴侧视图是长为4，宽为的矩形，，故选：B．第10页（共19页）12．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．（﹣∞，0]C．[﹣2，﹣1]D．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】化简f（x），讨论t的取值，判断f（a）、f（b）、f（c）能否构成一个三角形的三边长，从而求出t的取值范围．【解答】解：==1﹣，①当t+1=0即t=﹣1时，f（x）=1，此时f（a），f（b），f（c）都为1，能构成一个正三角形的三边长，满足题意；②当t+1＞0即t＞﹣1时，f（x）在R上单调递增，﹣t＜f（x）＜1，∴﹣t＜f（a），f（b），f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c）得﹣2t≥1，解得﹣1＜t≤﹣；③当t+1＜0即t＜﹣1时，f（x）在R上单调递减，又1＜f（x）＜﹣t，由f（a）+f（b）＞f（c）得2≥﹣t，即t≥﹣2，所以﹣2≤t＜﹣1；综上，t的取值范围是．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．设函数，若f（x）为奇函数，则的值为2．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意可得g（﹣）=f（﹣）=﹣f（）=﹣，再利用对数的运算性质，求得结果．【解答】解：g（