第五章第四讲定积分的换元法与分部积分法

第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军1重点：换元法与分部积分法的步骤难点：换元法与分部积分法的上下限的变换方法。第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军2第三节定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军3定理假设（1）)(xf在],[ba上连续；（2）函数)(tx在],[上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(、b)(，则有dtttfdxxfba)()]([)(.一、定积分的换元法第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军4a)(、b)(,)()()]([)]([FF),()(aFbF)()()(aFbFdxxfba)()(.)()]([dtttf注意当时，换元公式仍成立.证明：第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军5应用换元公式时应注意:求出)()]([ttf的一个原函数)(t后，不必象计算不定积分那样再要把)(t变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.（2）（1）用)(tx把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军6例1计算.sincos205xdxx令2x,0t0x,1t205sincosxdxx015dtt1066t.61解,cosxt,sinxdxdt第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军7例2计算.sinsin053dxxx解xxxf53sinsin)(23sincosxx053sinsindxxx023sincosdxxx2023sincosdxxx223sincosdxxx2023sinsinxdx223sinsinxdx2025sin52x225sin52x.54第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军8例3计算.)ln1(ln43eexxxdx解原式43)ln1(ln)(lneexxxd43)ln1(ln)(lneexxxd432)ln(1ln2eexxd43)lnarcsin(2eex.6第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军9例4计算aadxxax022)0(.1ax,2t0x,0t解令,sintax,costdtadx原式2022)sin1(sincosdttatata20cossincosdtttt20cossinsincos121dttttt20cossinln21221tt.4第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军10例5当)(xf在],[aa上连续，且有①)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(；②)(xf为奇函数，则aadxxf0)(.证,)()()(00aaaadxxfdxxfdxxf在0)(adxxf中令tx,第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军110)(adxxf0)(adttf,)(0adttf①)(xf为偶函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20adttf②)(xf为奇函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军12例6若)(xf在]1,0[上连续，证明（1）2200)(cos)(sindxxfdxxf;（2）00)(sin2)(sindxxfdxxxf.由此计算02cos1sindxxxx.证（1）设tx2,dtdx0x,2t2x,0t第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军1320)(sindxxf022sindttf20)(cosdttf;)(cos20dxxftx,dtdx0x,tx,0t0)(sindxxxf0)][sin()(dttft,)(sin)(0dttft第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军140)(sindxxf,)(sin0dxxxf.)(sin2)(sin00dxxfdxxxf02cos1sindxxxx02cos1sin2dxxx02)(coscos112xdx0)arctan(cos2x.42)44(20)(sindttf0)(sindtttf0)(sindxxxf第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军15设函数)(xu、)(xv在区间ba,上具有连续导数，则有bababavduuvudv.定积分的分部积分公式推导,vuvuuv,)(babauvdxuv,bababadxvudxvuuv.bababavduuvudv二、定积分的分部积分法第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军16例7计算.arcsin210xdx210arcsinxdx210arcsinxx21021xxdx621)1(112120221xdx1221021x.12312解令,arcsinxu,dxdv,12xdxdu,xv则第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军17例8计算.2cos140xxdx解,cos22cos12xx402cos1xxdx402cos2xxdxxdxtan24040tan21xxxdxtan214040secln218x.42ln8第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军18例9证明定积分公式2200cossinxdxxdxInnnnnnnnnnnnn,3254231,22143231为正偶数为大于1的正奇数证设,sin1xun,sinxdxdv,cossin)1(2xdxxndun,cosxv第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军19x2sin10dxxxnxxInnn2202201cossin)1(cossindxxndxxnInnn22002sin)1(sin)1(nnInIn)1()1(221nnInnI积分关于下标的递推公式nI4223nnInnI,直到下标减到0或1为止第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军20,214365223221202ImmmmIm,3254761222122112ImmmmIm),2,1(m,2200dxI,1sin201xdxI,221436522322122mmmmIm.325476122212212mmmmIm于是第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军21三、小结本讲主要学习了定积分的换元积分法与分部积分法，特别注意上、下限的确定方法，注意与不定积分方法的比较。第五章第三节2020/2/23泰山医学院信息工程学院刘照军22四、作业：CT5-3P253110)12)17)18)676)9)11)12)13)