勾股定理在中考中的几种新题型

勾股定理在中考中的几种新题型一、逆向思考型例1如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）（A）CD、EF、GH（B）AB、EF、GH（C）AB、CD、GH（D）AB、CD、EF图1解：在Rt△EAF中，AF=1，AE=2，根据勾股定理，得EFAEAF2222215同理ABGHCD221325，，计算发现()()()52213222，即ABEFGH222，根据勾股定理的逆定理得到AB、EF、GH为边的三角形是直角三角形。故选（B）。二、探索规律型例2如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…。（1）记正方形ABCD的边长a11，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，aaaaaan34234，，…，，求出，，的值。（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长an的表达式。图2解：（1）因为四边形ABCD为正方形，图形中有多个等腰直角三角形所以根据勾股定理ACABBC222同理AE=2，EH22因为aaaa1021324312222222()()()()，，，（2）根据以上规律，第n个正方形的边长annn()211（）（n是自然数）三、展面助解型例3如图所示1为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示。已知展开图中每个正方形的边长为1。（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？（2）试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠BAC'''的大小关系？1解：（1）在平面展开图中可画出最长的线为10。如图3－2中的AC''，在Rt△ACD'''中因为CDAD''''13，由勾股定理得：ACCDAD''''''221910答：这样的线段可画4条（另三条用虚线标出）2（2）因为立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角，所以∠BAC=45°。在平面展开图3－3中，连接线段BC''（如图3－4），由勾股定理可得：ABBCABBCAC''''''''''55222，又因为由勾股定理的逆定理可得△ABC'''为直角三角形又因为ABBC''''所以△ABC'''为等腰直角三角形所以∠BAC'''45所以∠BAC与∠BAC'''相等四、观图解答型在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是SS12、、SSSSSS341234、，则=_____________。图4解：S1代表面积为S1的正方形的边长的平方，S2代表面积为S2的正方形的边长的平方，又SS12代表斜放置的正方形1的边长的平方和，故SS12=斜放置的正方形1的面积；同理SS34=斜放置的正方形3的面积；所以SSSS123413。五、折叠构造型例5（2004年江苏省无锡市）如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。图5解：由折叠知，EM=EA，设CD=2a所以DEaEMDMa2，在Rt△EDM中，EMDEDM222所以EAaEAa2222()解得EAa54所以EDa34所以DEDMEMaaa：：：：：：3454345。六、剪拼操作型例6（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开。大会会标如图6甲。它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5，求中间小正方形的面积。（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图6乙，请你将它分割成6块，在拼合成一个正方形。（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应数据）图6解：（1）设直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，则小正方形的边长为ab。由题意得ab5①由勾股定理，得ab2213②①2－②得212ab所以()ababab222213121③即所求的中间小正方形的面积为1（2）所拼成的正方形的面积为652132.()cm，所以可按照图甲制作。由③得ab1由①、③组成方程组解得ab32，结合题意，每个直角三角形的较长的直角边只能在纸片6.5cm的长边上截取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为1312324131212()cm，恰好等于中间的小正方形面积。于是，得到以下分割拼合方法：图7七、阅读理解型例7阅读材料并解答问题：我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方勾股定理又被称为“毕达哥拉斯定理”。关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数成为勾股数”。以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数的两组方法：方法1：若m为奇数（m3），则a=m，b12112122()()mcm和是勾股数。方法2：若任取两个正整数，m和n（mn），则amnbmn222，，cm2n2是勾股数。（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a、b、c为边长的△ABC是直角三角形。（2）请根据方法1和方法2按规律填定下列表格：勾m3511…股1212()m41260…弦1212()m51361…m233444556…n121321435…a=m2－n23587121591611…b=2mn412624168403060…c=m2＋n251310252017413461…（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图8所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成。要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，那么这四个直角三角形的边上共需植树___________棵。图8解：（1）选方法1：因为ambmcm，，12112122()()所以abmm22222121[()]mmmmmmmmmmmmm22224224242422214114211412141412141421141()()()()cmm22222121141[()]()所以abc222故根据勾股定理的逆定理得到以a、b、c为边长的△ABC是直角三角形。（2）根据方法1可填：勾7、股24、弦25和勾9、股40、弦41。根据方法2，当m=5，n=2时，a、b、c分别可填；21、20、29。当mn51，时，a、b、c分别可填：24、10、26。（3）因为相邻两树间的距离均为1米，每个三角形最短边上都植6棵，这6棵中包括两端的2棵，去掉1棵，最短边应为5棵，其余两边分别为12棵、13棵。该图案由四个全等的直角三角形组成，共需植树451213120()棵。八、类比猜想型例8△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图9（1），根据勾股定理，则abc222。若△ABC不是直角三角形，如图9（2）和9（3），请你类比勾股定理，试猜想ab22与c2的关系，并证明你的结论。图9解：若△ABC是锐角三角形，则有abc222若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有abc222当△ABC是锐角三角形时图10证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BDax根据勾股定理，得bxADcax22222()即bxcaaxx222222所以abcax2222因为a0，x0，所以20ax所以abc222当△ABC是钝角三角形时图11证明：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D。设CD为x，则有BDax222根据勾股定理，得()bxaxc2222即abbxc2222因为b0，x0所以2bx0所以abc222