5-2一阶微分方程

第二节一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为：0),,(yyxF初始条件为：00yyxx通解为：),(Cxyy一、可分离变量的一阶微分方程dxxfdyyg)()(可分离变量的微分方程.5422yxdxdy例如,2254dxxdyy解法设函数)(yg和)(xf是连续的,dxxfdyyg)()(设函数)(yG和)(xF是依次为)(yg和)(xf的原函数,CxFyG)()(为微分方程的解.分离变量法例1求解微分方程.2的通解xydxdy解即分离变量xdxydyy2,0方程可变形为若两端积分,2xdxydy12lnCxy得.2解为任意常数）为所求通（CCeyx)0(2yCeyx其中则亦为方程的解又0y例2求解微分方程ydxdy解即分离变量dxydyy方程可变形为若,0两端积分,dxydyCxy2得.0)(412yCCxy及为任意常数）（方程的解为.)(412为方程的通解则Cxy.0含在通解中亦为方程的解，但它不显然y例3求解初值问题：10)1(02xydyxxydx解dxxxydy12方程分离变量为两端积分12)1ln(21lnCxy得110Cyx代入得将初值条件112xCy则.为方程的通解112xy故初值问题的特解为：.0)()(4通解求方程例xdyxygydxxyf,xyu令,ydxxdydu则,0)()(xydxduxugydxuf,0)()]()([duugdxxuuguf,0)]()([)(duugufuugxdx.)]()([)(||lnCduugufuugx通解为解例5衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M成正比,已知00MMt,求衰变过程中铀含量)(tM随时间t变化的规律.解,dtdM衰变速度由题设条件)0(衰变系数MdtdMdtMdM,dtMdM00MMt代入,lnlnCtM,tCeM即00CeM得,CteMM0衰变规律二、一阶齐次微分方程)(xyfdxdy形如的微分方程称为齐次方程.2.解法,xyu作变量代换,xuy即代入原式,dxduxudxdy),(ufdxduxu.)(xuufdxdu即可分离变量的方程1.定义,0)(时当uuf,ln)(1xCuufdu得,)(uCex即）（uufduu)()(,代入将xyu,)(xyCex得通解,0u当,0)(00uuf使,0是新方程的解则uu,代回原方程.0xuy得齐次方程的解例1求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx，令xyu，则udxxdudy,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu,lnsinCxu.lnsinCxxy微分方程的解为解2222yxyxxyydxdy,1222xyxyxyxydxdy,xyu令,udxxdudy则,1222uuuuuxu.2222xyydyyxyxdx例2求解微分方程解,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu.)2(123Cxuuu微分方程的解为.)2()(32xyCyxy,]1122)121(21[xdxduuuuu例3抛物线的光学性质实例:车灯的反射镜面------旋转抛物面解轴设旋转轴ox如图),0,0(光源在)(:xyyLxyoMTNRL上任一点，为设LyxM),(,,yMT斜率为为切线,1,yMN斜率为为法线,NMROMNyNMRyxyxyyOMN1tan11tan,022yyxyy得微分方程.1)(2yxyxy即,tantanNMROMN由夹角正切公式得xyoMTNRL，令xyu,112uudxduxu得分离变量,1)1(22xdxuuudu，令221tu,)1(xdxtttdt积分得,ln1lnxCt,112xCu即平方化简得,2222xCxCu得代回,xyu)2(22CxCy抛物线轴的旋转抛物面方程为所求旋转轴为ox).2(222CxCzy可化为齐次的方程的微分方程形如)(111cybxacbyaxfdxdy为齐次方程.,01时当cc，令kYyhXx,（其中h和k是待定的常数）dYdydXdx,否则为非齐次方程.)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY解法讨论,0,0111ckbhacbkah,0)1(11baba有唯一一组解.)(11YbXabYaXfdXdY得通解代回，kyYhxX,,0)2(未必有解,上述方法不能用.,01时当b.1中必至少有一个为零与ba,11bbaa令),)((1cbyaxcbyaxfdxdy方程可化为,byaxz令，则dxdybadxdz).()(11czczfadxdzb,0b若可分离变量的微分方程.,0,01ab若),(1adxdzbdxdy)()(11cczfadxdzb可分离变量的微分方程.,01时当b,byaxz令可分离变量..314的通解求例yxyxdxdy解,0301khkh解方程组,2,1kh.2,1YyXx令,YXYXdXdY代入原方程得，令XYu,kYyhXx令,31khYXkhYXdXdY则,11uudXduXu分离变量法得,)12(22CuuX,222CXXYY即代回，将2,1yYxX得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy.622122Cyxyxyx或方程变为.15的通解求例yxyxdxdy解.001无解方程组khkhyxv令代入原方程得,kYyhXx令,1khYXkhYXdXdY则dxdydxdv1则分离变量法得,dxvdv原方程的通解Cxyx2)(2vvdxdv11vdxdv1即Cxv221积分得例6求解微分方程0cos)3sin42()3sin2(ydyyxdxyx解0)(sin)3sin42()3sin2(ydyxdxyx令zysin,34232zxzxdxdz再令uzx2,236udxdu两边积分后得,632Cxuu变量还原得.6)sin2()sin2(32Cxyxyx例7求解微分方程.8237323223yyyxxxyxy解,8237322222yxyxxdxydy,823732)()(222222yxyxxdyd令,,22yx,823732dd,1208230732khkhkh由令1,2YXYXYXdXdY2332,2332XYXY令XYuXdXduuu)1(2232两边同时积分得,)1(145CXuu变量还原后得通解.)2()1(34252222xyxCyx利用变量代换求微分方程的解.)(82的通解求例yxdxdy解,uyx令1dxdudxdy代入原方程21udxdu,arctanCxu解得得代回,yxu,)arctan(Cxyx原方程的通解为.)tan(xCxy作业：P295,1(1)(4),2(1)(3),3(2)(4)(5),4(1)(3)(4)(6)(7),5,8,9