测量学-测量误差

数字测图原理与方法主讲教师：强晓焕单位：测绘与国土信息工程学院第五章测量误差基础知识内容提要：1、测量误差的概念及原因2、测量误差的分类3、衡量精度的指标4、误差传播定律及应用5、算术平均值及其中误差6、加权平均值5.1测量误差概述引：测量误差：距离测量一、测量误差测量工作的实践表明，在各观测值之间及在观测值与理论值之间不可避免地存在着差异，我们称这些差异为观测值的测量误差。设某观测量的真值为X表示。若以li(i=1,2,...n）表示对某量的n次观测值，并以△表示真误差，则真误差可定义为观测值与真值之差，即：Δi=li-X(i=1,2,3…n)二、测量误差的来源1、仪器精度的局限性制造，检校，精密度。例：尺子最小刻度\仪器读盘划分2、观测者感官的局限性观测者鉴别力、熟练程度、经验。3、外界环境的影响温度，湿度，气压，风力，大气折光，烟雾等。观测条件：测量工作是在一定的条件下进行的，一般来说，外界环境、测量仪器和观测者构成观测条件。观测条件不理想或不断变化，是产生测量误差的根本原因。等精度观测\不等精度观测结论：观测条件不可能完全理想，观测误差是不可避免的，但是可以通过一定的测量方法控制和减小测量误差。二、测量误差的来源按测量误差对结果影响性质的不同：1、系统误差—在相同的观测条件下，误差出现在符号和数值上相同或按一定的规律变化。产生原因：仪器,观测者,外界特征：规律性,累积性措施：找出规律，加以改正；用一定的测量方法抵消或削弱。三、测量误差的分类与对策1、系统误差---特征累积性：用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定钢尺的实际长度为50.005m，则每量尺，就带有+0.005m的误差(“+”表示在所量距离值中应加上)，丈量的尺段越多，所产生的误差越大。规律性：在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行而产生夹角i时，对水准尺的读数所产生的误差为l*i″/ρ″，它与水准仪至水准尺之间的距离l成正比，所以这种误差按某种规律变化。1、系统误差---处理例：误差钢尺尺长误差Dk钢尺温度误差Dt水准仪视准轴误差i经纬仪视准轴误差C……处理方法计算改正计算改正操作时抵消(前后视等距)操作时抵消(盘左盘右取平均)……2、偶然误差在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”。且随观测次数的增加，偶然误差的规律性表现得更加明显。减小措施：多余观测，制定限差。注：偶然误差不能完全消除三、测量误差的分类与对策3、粗差由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差。瞄准目标，读错数，大风等粗差必须剔除探测措施：观测值分析，多余观测检核分析。解决方法：重测或数值调整分配。三、测量误差的分类与对策偶然误差——在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”。且随观测次数的增加，偶然误差的规律性表现得更加明显。例如：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i=(测量值－180),其结果如表3-1。5.2偶然误差的特性12误差区间负误差正误差误差绝对值dΔKK/nKK/nKK/n0~3450.126460.128910.2543~6400.112410.115810.2266~9330.092330.092660.1849~12230.064210.059440.12312~15170.047160.045330.09215~18130.036130.036260.07318~2160.01750.014110.03121~2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810.5051770.4953581.000表3-1偶然误差的统计-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24k/d一、偶然误差特性1、有界性：偶然误差应小于限值。2、密集性：误差小的出现的概率大3、对称性：绝对值相等的正负误差概率相等4、抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。[]0limnn5.2偶然误差特性-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=二、偶然误差的特性分布曲线：正态分布5.3衡量精度的标准精度：指一组观测量的误差分布的离散程度。误差分布密集，误差就小，精度就高精度标准：中误差，相对误差，极限误差一、中误差中误差：即概率统计中的标准差在测绘中称为中误差。通常，观测次数n总是有限的，只能求得标准差的“估值”，记作m，称为“中误差”。其值可用下式计算:由定义可知，中误差m不等于每个测量值的真误差，它只是反映这组真误差群体分布的离散程度大小的数字指标。所以，通常把m称为观测值中误差或一次观测值中误差。一、中误差22212[]nmnn次序第一组观测第二组观测观测值lΔΔ2观测值lΔΔ21180°00ˊ03+39180°00ˊ00002180°00ˊ02+24159°59ˊ59-113179°59ˊ58-24180°00ˊ07+7494179°59ˊ56-416180°00ˊ02+245180°00ˊ01+11180°00ˊ01+116180°00ˊ0000179°59ˊ59-117180°00ˊ04+416179°59ˊ52-8648179°59ˊ57-39180°00ˊ00009179°59ˊ58-24179°59ˊ57-3910180°00ˊ03+39180°00ˊ01+11|Σ|247224130中误差212.7mn223.6mn一、中误差---计算二、相对误差在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映出现测的质量。例如，丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是±2cm，那两者的精度是相同的吗？用观测值的中误差与观测值之比的形式描述观测的质量，称为“相对中误差”。相对误差习惯于用分子为1的分数形式表示.XXXDm/1三、极限误差根据偶然误差的第一个特性，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，这个限值就是极限误差，简称限差。根据正态分布曲线,计算在中误差倍数区间内误差出现的概率：结论：偶然误差的绝对值大于2倍中误差的占5%，而大于3倍的约占0.3%，所以理论上取3倍中误差应为极限误差，但在实际测量中测量次数有限，常取2倍中误差为极限误差。2m允205.4误差传播定律对于直接观测的量(如角度、距离)，经过多次观测后，可通过真误差或改正数计算观测值的中误差，作为评定观测值精度的标准。在实际工作中，许多未知量并不是直接进行观测的，而是由直接观测量根据一定的函数关系计算出来的，这些未知量即为观测值的函数。例如，在水准测量中，两点间的高差h=a-b，则h是直接观测值a和b的函数。一、观测值的函数215.4误差传播定律记一般函数形式为：已知：mx1，mx2，……mxn求：my=?按中误差定义公式，则：y=?与x关系?阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。12(,...)yfxx　nmyyy][一、观测值的函数一、观测值的函数1、和差函数2、倍数函数3、线性函数4、一般函数12nyxxxymx1122...nnykxkxkx12(,...)nfxxx　y3.4误差传播定律zxy111zxy222zxynnnzxy2222zxxyy222111112zxxyy222222222zxxyy2222nnnnnzxxyy求和222[][]2[][]zxxyy222[][]2[][]zxxyynnnn222yxzmmm二、函数的中误差平方1、和差函数除以n结论：和差函数中误差等于两独立观测值中误差平方和的平方根。即2、倍数函数z=mx结论：倍数函数中误差等于观测值中误差的k倍。11222222......//znnzxkxzkxzkxnknmkm平方求和再除以n得：zzxxzxmkm二、函数的中误差3、线性函数z=k1x1±k2x2±...±knxn结合和差函数及倍数函数，可得一般函数中误差的公式为：22222221122...znnmkmkmkm结论：线性函数中误差的平方，等于各观测值的中误差与对应常数乘积的平方和。4、非线性函数22222221122(/)(/)...(/)znnmfxmfxmfxm12(,...)nzfxxx　结论：非线性函数中误差的平方，等于该函数各观测值的偏导数与其中误差乘积的平方和。非线性函数的真误差关系式可用全微分式近似表示：4、非线性函数中误差几何意义例：P=a×b△p=b×△a+a×△b[△p△p]=bb[△a△a]+2ab[△a△b]+aa[△b△b]ab△b△a222222222pabpabmbmammbmam28计算步骤：第一步：写出函数式第二步：写出全微分式第三步：写出中误差关系式2222222121...nnymfmfmfm4、非线性函数二、函数的中误差观测值函数中误差公式汇总一般函数倍数函数和差函数线性函数12(,,,)nZFxxx2222221212ZnnFFFmmmmxxxZKx12nZxxxZmmn1122nnZkxkxkx2222221122Znnmkmkmkm22ZxxmKmKm30三、误差传布定律应用举例1、观测值：斜距S和竖直角v待定值：水平距离D22222222222coscossincossincosDSvhSvDDSvdvdsSvdvmvmSvmmvmhm一、二、三、或：2、已知某矩形长a=500米，宽b=400米,ma=mb=0.02m，求矩形的面积中误差mp。PabPabdbdad2222pabmbmam22(4000.02)(5000.02)22281012.8m三、误差传布定律应用举例323、用三角形闭合差求测角中误差§§§§§§§§次序观测值l△Σ△Σ21180-00-10.3+10.3106.12179-59-57.2-2.87.83179-59-49.0-11.01214180-00-01.5+1.52.65180-00-02.6+2.66.8S+1.6244.3244.37.05m秒ABC223mm3mm34.03mm秒5.5算术平均值及观测值的中误差引：在大多数情况下，一般量的真值无法知道，则用一最可靠、最近似于真值的值来代替。一、算术平均值在相同的观测条件下，对某未知量进行了n次观测，将各观测值取算术平均值，作为该量的最可靠的数值。12[]nllllxnn证明：算术平均值是最或然值[][]1122    [][]0limlimnlnXvlXvlXiliXilinXlXnnnn则：根据偶然误差的特性4[]lXn一、算术平均值35二、观测值的改正数若被观测对象的真值不知，则取平均数为最优解。定义改正值：用改正数计算中误差：iivxlx1122nlnvxlvxlvx/0vnxlvnlnlvll211niivmn公式推导1122(1)nnlXlXlX1122n(2l)nvxlvxlvx112231()()4()nnvxXvxXvxX