第一节--万有引力的两种物理模型(样稿)

第一节万有引力的两种物理模型【理论讲解】1.万有引力与重力的关系如图1所示，地面上静止的物体受万有引力和支持力，由于地球自转，万有引力和支持力的合力垂直指向地轴充当向心力，故考虑地球自转的情况下重力的大小不一定等于万有引力，方向也不一定指向地心，只有在两极时才有物体所受重力和万有引力完全一样。在两极时：2=GMmmgR（Fn=0）；在赤道时：'222-=()GMmmgmRRT。由于在赤道处向心加速度最大才约为0.03m/s2，远小于g，故一般情况下我们认为在地球表面物体所受的重力等于万有引力。图12.万有引力的两种物理模型（1）空中模型（“绕”模型）：如图2中心天体上方的卫星做匀速圆周运动，卫星所受的万有引力充当向心力。有：22222()nGMmmvmamrmrrrT得：2nGMar，即r越大，na越小。rGMv，即r越大，v越小。3GMr，即r越大，ω越小。234rTGM，即r越大，T越大。图2可以用一个口诀记忆：“高轨、低速（线速度、角速度、加速度）、大周期”。卫星在空中时，只受万有引力（重力），即万有引力=重力=向心力，口诀为“三力合一”。注：○1两种周期——自转周期和公转周期的不同。○2两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同。（2）地面模型（“随”模型）：物体在天体表面或附近时，万有引力等于重力（忽略地球自转）。有：2GMmmgR，得：2GMgR；若在地面上方h处：有2()GMmmgRh，得：2()GMgRh，故高NF万FnG度h越大，g越小。3.宇宙速度（1）第一宇宙速度又叫环绕速度。近地卫星绕地球做匀速圆周运动时，“三力合一”：由212mvGMmmgRR得：1GMvgRR＝7.9/kms。○1第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。○2第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。注：两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度。（2）第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2/kms，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。（3）第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7/kms，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。4.卫星的追及问题天体运动中的追及问题与直线运动中的追及问题含义不同，前者研究的是两个在不同的圆周轨道上运动的物体，何时相距最近或最远的问题。相距最近的含义是：两颗卫星和圆周轨道的圆心三点在同一条直线上，且两颗卫星在圆心同侧；相距最远的含义是：两颗卫星和圆周轨道的圆心在同一条直线上，且两颗卫星在圆心异侧。【典型例题】【例1】如图3所示，a为放在赤道上相对地球静止的卫星，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径等于地球半径），c为地球的同步卫星，以下关于a、b、c的说法中正确的是（）A．a、b、c的向心加速度大小关系为bcaaaaB．a、b、c的向心加速度大小关系为abcaaaC．a、b、c的线速度大小关系为abcvvv图3D．a、b、c的周期关系为acbTTT【思路点拨】本题中的三颗卫星分别对应什么物理模型？卫星a、c的运动有何联系？本题的关键首先是找到这三颗卫星对应的物理情景不同，建立对应的物理模型，再分别列式讨论。【过程详解】虽然这三颗卫星都做匀速圆周运动，但对应的物理模型不同。b、c卫星为空中模型，万有引力全部充当向心力；a卫星为地面模型，万有引力只有很小的一部分充当向心力。因此解这道题首先应该分门别类，b、c可以根据空中模型讨论，a、c的周期（角速度）相同，可根据圆周运动的公式来讨论。对a、c：由2nar，2rvT得：caaa，cavv对b、c：由2nMmGmar，222rvmrMmG，222MmGmrrT得：bcaa，bcvv，cbTT∴bcaaaa，bcavvv，acbTTT，答案选AD。【纵横拓展】本题若对空中模型和地面模型不加以区分，一上来就套万有引力充当向心力的公式去讨论T、v、an的关系则掉入了陷阱。因此对于此类问题，解题的关键是“分门别类”：空中的两个一起由万有引力充当向心力的公式讨论所求参量，地面卫星和同步卫星根据圆周运动的周期（角速度）相同这一特点，由圆周运动公式讨论其它参量。这道例题还提醒我们，在解决天体运动的问题时，除了运用万有引力的两大物理模型之外，还应该有第三条思路：根据圆周运动的基本公式去讨论相关物理量的大小关系。【例2】随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想。假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间t后回到出发点。已知月球的半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是()A．月球表面的重力加速度为0vtB．月球的质量为202vRGtC．宇航员在月球表面获得0vRt的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动D．宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为0Rtv【思路点拨】本题涉及万有引力的哪些物理模型？由竖直上抛运动和已知物理量可以求出什么物理量？它和万有引力的地面模型是否有联系？【过程详解】根据竖直上抛运动可得02vtg，故02vgt，A项错误；在月球表面有2GMmmgR，可得：202vRMGt，故B项正确；宇航员获得最小发射速度时，恰能绕月球表面做匀速圆周运动，有2222()GMmmvmRRRT，可得：02vRvt，022RtTv，故C、D项错误，本题答案选B。【纵横拓展】本题涉及两个物理情景，先是在月球表面竖直上抛，由运动学公式可以求出月球表面的重力加速度，再根据地面模型就可以求出月球质量。然后是发射宇航员绕月球表面做匀速圆周运动，对应的是空中模型，可以求出近月轨道的环绕速度和周期。由此可见，g是联系匀变速运动和万有引力两大物理模型的纽带和桥梁。【例3】一物块用弹簧测力计分别在赤道和两极称量，测得其重力分别为0.9P（N）和P（N），已知地球的自转周期为T，求地球的密度为多少。【思路点拨】用弹簧测力计分别在赤道和两极称量物体的示数不同，隐藏着什么隐含信息？考虑地球自转时，物体在地球表面所受的万有引力和重力是什么关系？【过程详解】由于物块在赤道和两极的重力不同，故要考虑地球自转对重力的影响。在两极，向心力为零，故有：2PGMmR在赤道有：222()0.9PGMmmRRT联立两式得：2220.1=()GMmmRRT解得：23240RMGT所以323304MRGT。【纵横拓展】本题考查万有引力与重力的关系，关键是要明白考虑自转时有向心力，万有引力并不全部是重力这一特点，应在两极和赤道这两个特殊地方分别根据万有引力与重力的关系列式讨论。一般情况下，自转需要的向心力很小，故常常认为万有引力等于重力，但题目中若明确指出在地球不同地方物体重力不同，则不能忽略地球自转而认为万有引力等于重力，应根据如图1的关系来分析列式。【例4】某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示。该行星与地球的公转半径比为（）A．231()NNB．23()1NNC．321()NND．32()1NN图4【思路点拨】地球和行星转动的角速度谁大？“每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上”满足这个条件下，地球和行星转动的圈数有什么关系？圆心角差值是多少？行星与地球的公转半径与它们公转的周期有什么关系？【过程详解】地球周期11T年，由于每过N年，该行星会运动到日地连线的延长线上，即地球比该行太阳地球行星星多转一圈（地球轨道半径小，角速度大），所以角速度之差为)22(21TT，列式有：2)22(21NTT，即12NNT，再根据开普勒第三定律33122212rrTT，得32321212)1()(NNTTrr，故答案选B。【纵横拓展】开普勒第三定律是高考的一个热点，要引起高度重视，试题中一般都是已知一个天体（卫星）公转的周期，如已知地球或地球同步卫星的周期，求公转半径关系或另一颗卫星的周期的问题。对于“两颗卫星和圆周轨道的圆心三点在同一条直线上，且两颗卫星在圆心同侧”的情景，关键要明白转动快的卫星比转动慢的卫星多转一圈，满足公式：12222ttTT。比如同步卫星和近地卫星同时出现在赤道处城市的正上方，若近地卫星再次出现在该座城市的正上方，需要多长时间，即属于这类问题。【升华凝练】1.万有引力的两大物理模型图5其中g是联系匀变速运动、地面模型和空中模型的桥梁和纽带，从而实现了“天地合一”。2.解决天体运动的三条思路（1）匀速圆周运动的两个物体若周期或角速度相同时，可以直接根据圆周运动的公式比较线速度、向心加速度等物理量的大小。比如赤道上的物体和同步卫星就满足周期和角速度相等，很容易通过圆周运动公式得出其它物理量的大小关系。（2）物体在星球表面或附近时，在不考虑自转的情况下，可根据万有引力等于重力列方程。（3）卫星绕中心天体做匀速圆周运动时，可根据万有引力充当向心力列方程。3.卫星追及问题的的两种情景空中模型地面模型GF万Fn2=GMgRa=g的匀变速运动自由落体：212hgtvgt竖直上抛：2012hvtgt0vvgt2GMmmgR22GMmmvrr若两颗卫星原来相距最近且与中心天体在同一连线，要使它们再次出现在同一连线上时：（1）当两颗卫星在圆心同侧出现（相距最近），即转动快的卫星比转动慢的卫星多转一圈，则满足公式：12222ttTT。（2）当两颗卫星在圆心异侧出现（相距最远），即转动快的卫星比转动慢的卫星多转半圈，则满足公式：1222ttTT。图6【战场模拟】1．（2015北京卷）假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么（）A．地球公转周期大于火星的公转周期B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度【答案】D【解析】此题为“空中模型”，故根据万有引力充当向心力列方程22222()nGMmmvmamrmrrrT，可得向心加速度、线速度、角速度、周期的大小关系。2.（2015山东卷）如图4，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以1a、2a分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，3a表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是（）图7A．231aaaB．213aaaC．312aaaD．321aaa地球月球1L星1星2【答案】D【解析】因空间站建在拉格朗日点，故周期等于月球的周期（约27天），根据圆周运动的公式22()arT，得21aa。对月球和同步卫星，因同步卫星的周期（约1天）小于月球周期，由222MmGmrrT得：同步卫星的轨道半径小于月球的轨道半径，再由2nMmGmar，得：32aa，故答案选D。3.如图所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是()图8A．12araRB．212()aRarC．12vrvRD．12vRvr【答案】AD【解析】对于同步卫星和近地卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，有：222rvmrMmG，得rGMv，所以有12vRvr，故D项正确。对于地球赤道上的物体和同步卫星而言，它们同轴做匀速圆周运动，即角速度相同，根据圆周运动的公式2nar，得：12araR，故A项正确。4.（2014新课标全国卷Ⅱ）假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常数为G，则地球