对流扩散方程的离散格式

传热与流体流动的数值计算1/59§5.1对流项离散格式的重要性及两种离散方式一、对流项离散格式的重要性1、数值解的准确性（假扩散）2、数值解的稳定性3、数值解的经济性二、构造离散格式的两种方式1、Taylor展开法2、控制容积积分法两种定义截差阶数一致，但截差首项系数有所不同。传热与流体流动的数值计算2/59§5.2对流项的中心差分与迎风格式一、一维对流-扩散问题模型方程的精确解边界条件：dddudxdxdx00,;,LxxLdudxC12lnuxCC12uxCeC传热与流体流动的数值计算3/59一、一维对流-扩散问题模型方程的精确解（续）Peclet数：Pe表示对流与扩散作用的相对大小。001111uxPexLuLPeLeeeeuLPe00传热与流体流动的数值计算4/59二、对流项的中心差分对方程采用控制容积积分法记：F=u通过界面的流量。界面上单位面积扩散阻力的倒数(扩导)。dddudxdxdx2222ewewPewewewEWewuuxxuuxx=Dx=FuuxPDx传热与流体流动的数值计算5/59二、对流项的中心差分（续）在数值计算过程中，如果连续性方程始终得到满足，则：在求解过程中，始终保持连续性方程满足非常重要。常物性条件下均分网格：2222ewewewPeEwWFFFFDDDDPPEEWWaaa,,22ewPEWewEeWwFFaaaFFaDaDPEWaaa10.510.52EWPPP传热与流体流动的数值计算6/59二、对流项的中心差分（续）例：在一维模型方程离散求解的均分网格中，已知W=100，E=200。试对P=0，1，2及4四种情况按中心差分格式计算P之值。负系数会导致物理上不真实的解。传热与流体流动的数值计算7/59三、对流项的迎风格式Taylor展开法控制容积积分法e界面w界面11,0,0iiiiiiidudxxux0,;0,0,;0,ePeE传热与流体流动的数值计算8/59三、对流项的迎风格式（续）e界面w界面0,;0,max,0max,0,0,0ePeEeePeEeePeEeuuuFFFFF0,;0,max,0max,0,0,0传热与流体流动的数值计算9/59三、对流项的迎风格式（续）迎风格式离散形式：PPEEWWaaa,0,0Eee传热与流体流动的数值计算10/59四、中心差分与一阶迎风格式的讨论1、对流项中心差分在不发生振荡的参数范围内，比一阶迎风格式的误差更小。2、一阶迎风格式离散方程系数永远大于零，不会引起解的振荡，得到物理上看似合理的解。3、一阶迎风格式截差阶数低，除非采用相当密的网格，否则计算结果的误差较大。4、一阶迎风格式的启示：应当在迎风方向取更多的信息构造格式，更好地反映对流过程的物理本质。5、在调试程序或计算的中间过程仍可以采用一阶迎风格式。传热与流体流动的数值计算11/59§5.3对流-扩散方程的混合格式及乘方格式一、系数aE与aW之间的内在联系aE(i)与aW(i+1)共享同一个界面。对流项中心差分：对流项一阶迎风：11122WEaiaiPPPDD,22ewEeWwFFaDaD,0,,0Eee11,01,0WEaiaiPPPDD传热与流体流动的数值计算12/59二、混合格式(Spalding,1971)0,210.5,22,2eEeeeeePaPPDPP,10.5,0EeeeaPPD传热与流体流动的数值计算13/59三、指数格式exp,exp1exp1wweEWewPEWewFPFaaPPaaaFFexpexp1exp1expexp1exp1eewPePPEEWWaaa利用精确解得到相邻节点间符合精确解的关系式。传热与流体流动的数值计算14/59三、指数格式（续）传热与流体流动的数值计算15/59四、乘方格式(Patankar,1979)550,1010.1,01010.1,100,10eeeEeeeeeePPPaDPPPPP50,10.1+0,EeeeaPPD传热与流体流动的数值计算16/59五、5种3点格式系数汇总EeaD只需给出定义式格式定义中心差分迎风格式混合格式乘方格式指数格式12eP1,0eP,10.5,0eePP50,10.1+0,eePPexp1eePP传热与流体流动的数值计算17/59§5.4对流-扩散方程5种3点格式系数特性的分析总通量密度J：单位时间内、单位面积上由扩散及对流作用而引起的某一物理量的总转移量。dddudxdxdxddJuPdxxdxx*JdJPDdxx一、通量密度及其离散表达式传热与流体流动的数值计算18/59一、通量密度及其离散表达式（续）J*的离散表达式：BehindAhead界面后的项界面前的项以坐标轴正方向为依据的“前”、“后”。*1iiJBA传热与流体流动的数值计算19/59二、系数A、B间的关系1、和差特性当时，界面上的扩散通量为零，于是：1ii*1iiJPP*11iiiiJBAPPBAP传热与流体流动的数值计算20/59二、系数A、B间的关系（续）2、对称特性坐标系I：坐标系II：因为：于是：*CDJBPAP*DCJBPAP**JJCDDCCDBPAPBPAPBPAPAPBP00BPAPBPAPAPBPAPBP即即传热与流体流动的数值计算21/59二、系数A、B间的关系（续）指数格式系数A、B间的关系exp,exp1exp1PPPBPAPPP传热与流体流动的数值计算22/59三、系数特性的重要推论和差特性：对称特性：重要推论：对5种3点格式的任何一种，若在P0时，A(P的计算式为已知，则在的范围内A(P、B(P的计算式均可得出。BPAPP,BPAPAPBPPPP传热与流体流动的数值计算23/59三、系数特性的重要推论（续）证明：,0BPAPPAPPP0,0PAPAP0,PAPBPPAPPAPP,0APAPP,0BPAPP传热与流体流动的数值计算24/59四、aE、aW的通用表达式J通量密度守恒方程*eePeEJBPAP***0eweewwJJDJDJeewwPeeE,0,0,0,0eeePEWaaa传热与流体流动的数值计算25/59四、aE、aW的通用表达式（续）不同格式的区别仅在于的计算式不同。,0,0EeeeeePPEEWWaaaAP传热与流体流动的数值计算26/59五、5种3点格式的AP格式中心差分迎风格式1混合格式乘方格式指数格式10.5P0,10.5P50,10.1Pexp1PPAP传热与流体流动的数值计算27/59五、5种3点格式的（续）AP传热与流体流动的数值计算28/591、从一维到多维的推广在每一个坐标方向上都按一维问题处理。2、所得出的系数表达式便于编制通用性程序，由专用模块处理。3、利用aE(i)与aW(i+1)间的关系，可以节省计算系数的工作量。六、关于格式定义与系数特性的说明AP1,0,0WE传热与流体流动的数值计算29/59§5.5关于对流项离散格式假扩散特性的讨论一、假扩散的含义本来含义：对流-扩散方程中一阶导数项的离散格式的截断误差小于二阶而引起较大数值计算误差。分析：纯对流方程，显式，FUDutx11(0nnnniiiiuutx设)22132,,2nniiininttOttt22312,,2nniiininxxOxxx传热与流体流动的数值计算30/59一、假扩散的含义（续）假扩散系数222222,,,,,22inininintxuuOxttxtx22222uuuuttttxxxx22221,2uxutuOxttxxx传热与流体流动的数值计算31/59一、假扩散的含义（续）拓宽含义：由以下三种原因引起的数值计算误差。1、非稳态项或对流项采用一阶截差的格式2、流动方向与网格线呈倾斜交叉（多维问题）。3、建立差分格式时没有考虑到非常数源项的影响。传热与流体流动的数值计算32/59二、由于一阶导数截差阶数低而引起的假扩散一维无源项稳态模型方程dddudxdxdx传热与流体流动的数值计算33/59二、由于一阶导数截差阶数低而引起的假扩散（续）一维非稳态对流问题utx流向扩散传热与流体流动的数值计算34/59三、流速与网格线倾斜交叉引起的假扩散物理问题不考虑扩散作用的结果交叉扩散传热与流体流动的数值计算35/59四、由非常数源项引起的假扩散带源项的模型方程两点边值问题传热与流体流动的数值计算36/59五、低阶格式引起显著数值计算误差的例子Smith-Hutton问题出口截面结果乘方格式QUICK格式传热与流体流动的数值计算37/59五、低