3-6(边际与弹性

一、边际的概念二、经济学中常见的边际函数五、小结思考题三、弹性的概念第六节边际与弹性四、经济学中常见的弹性函数如果函数)(xfy在0x处可导，则在),(00xxx内的平均变化率为xy；在0xx处的瞬时变化率为)()()(lim0000xfxxfxxfx，经济学中称它为)(xf在0xx处的边际函数值.定义1设函数)(xfy在x处可导，则称导数)(xf为)(xf的边际函数．)(xf在0x处的值)(0xf为边际函数值．即当0xx时，x改变一个单位，y改变)(0xf个单位．例1设函数2xy，试求y在5x时的边际函数值．解因为xy2，所以105xy．该值表明：当5x时，x改变1个单位（增加或减少1个单位），y改变10个单位（增加或减少10个单位）．1.边际成本QQCQQCLimQCLimQCQCQQ)()()()(00的导数总成本函数1)边际成本二、经济学中常见的边际函数2)边际平均成本：.)()()()()(2称为平均边际成本的导数平均成本QQCQCQQQCQCQC)()()()(1010QCCQCQCCQC即：之和，与可变成本等于固定成本总成本而边际成本则为：)(])([)(110QCQCCQC这样可以看出，边际成本与固定成本无关．例2设某产品生产Q单位的总成本为12001100)(2QQC，求：(1)生产900个单位的总成本和平均成本；(2)生产900个单位到1000个单位时的总成本的平均变化率；(3)生产900个单位的边际成本，并解释其经济意义.解(1)生产900个单位时的总成本为177512009001100)(2900QQC平均成本为99.19001775)(900QQC（2）生产900个单位到1000个单位时总成本的平均变化率为58.1100177519939001000)900()1000()(CCQQC5.1)(900,60012002)()3(900QQCQQQQC时的边际成本当边际成本函数例.一家工厂生产电视机，每周生产件产品所需的总成本为().，求：（）边际成本函数；()每周生产件产品的情况下的边际成本，并对结果作出解释；（）生产第件产品的基础上再增加一件，总成本增加多少？结合（）说明了什么？2310000200011210031002xCxxx解（）().120002Cxx（）()..21002000220010021800Cx在每周生产件的情况下，每周再多（或少）生产件，成本会增加（或减少），1001180（）()-()(.)(.)..223101100100002001010110110000200100011001799180CC例.成本分析：一个生产用于石油工业钻头的机械工厂，厂长预计一天生产个钻头所需的总成本是：().（美元），求：()和()；()和()，并对结果.作出解释2410002501121010xCxxxCxCxCC()解（）()1CxCxx.210002501xxx.10000125xx().2100001Cxx（）()210C124()10C.1012.边际收益定义：.)()()()(00称为边际收益函数的导数总收益函数QQRQQRLimQRLimQRQRQQ)()()()()()(QPQQPQRQPQPQQRQPPP，，因此为价格，设例5设某产品的需求函数为520QP，其中P为价格，Q为销售量，求销售量为15个单位时的总收益，平均收益与边际收益．并求销售量从15个单位增加到20个单位时收益的平均变化率．解520)(2QQQQPR总收益为1715255)(1515QQQQRR平均收益255)520(1515215QQQQR总收益个单位时销售14)5220()(1515QQQQR边际收益1352553201520)15()20(2015RRQR化率为个单位时收益的平均变个单位增加到当销售量从3.边际利润定义：.)()()()(00称为边际利润的导数总利润函数QQLQQLLimQLLimQLQLQQ边际利润表示：若已经生产了Q单位产品，再生产一个单位产品所增加的总利润．000)(,)()()()(,,)()()(),()()(QLQCQCQCQRQCQRQLQCQRQL时与边际成本决定边际利润可由边际收入显然则边际利润为之差．即与总成本函数等于总收益函数数一般情况下，总利润函)()()(QCQRQL则边际利润为,10250)(QQL50)20()(20LQLQ0)25()(25LQLQ100)35()(35LQLQ上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非生产的产品越多，利润越高.例6某工厂对其产品的销售情况进行大量统计分析后，得出总利润)(QL(元)与每月产量Q(吨)的关系为25250)(QQQLL，试确定每月生产20吨，25吨，35吨的边际利润，并做出经济解释．解4.边际需求定义()().QfPQPdPfPdQ若是需求函数，则需求量对价格的导数称为边际需求函数解8)(4,2dd)(4PPQPPQPPQ时的边际需求为当它的经济意义是价格为4时，价格上涨（或下降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.例7某商品的需求函数为275)(PPQQ，求4P时的边际需求，并说明经济意义．三、弹性的概念甲商品每单位价格5元，涨价1元；乙商品每单位价格200元，也涨价1元；与原价相比，甲商品涨价20%，乙商品涨价0.5%。显然甲商品涨价幅度比乙商品涨价幅度更大。如果乙商品的涨价是由甲商品涨价引起的，则若甲涨价1%，乙会涨价0.025%。相对改变量绝对改变量即乙商品相对于甲商品的平均相对变化率(即弹性)为0.025。1.弹性的定义设函数)(xfy在点0x处可导，且00x，称函数的相对改变量)()()(0000xfxfxxfyy与自变量的相对改变量0xx之比00xxyy为函数从0x到xx0两点间的平均相对变化率，或称为0x与xx0两点间的弹性．定义当0x时，称00xxyy的极限为函数)(xfy在0xx处的相对变化率，也就是相对导数，或称为函数)(xfy在0xx处的弹性(点弹性)。记作0xxxEyE或)(0xfxEE)()(limlim0000000000xfxxfxyxyxxyyxEyExxxx即.弹性函数的定义00()(,)/()0limlim/()(,).xxyfxabEyyyyxxfxyExxxxyyyfxab一般地，若函数在区间内可导，且，则称为函数在区间内的点弹性函数，简称弹性函数弹性反映的是()xyxfxxy的变化幅度对变化幅度大小的影响，即()fxx对变化反应的强烈程度或灵敏度。弹性在经济学上又可理解为边际函数与平均函数之比。EyxyyyxExy1.需求弹性需求的价格弹性需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度.用公式表示为.ddlim0QPPQQPPQEpP四、经济学中常见的弹性函数注因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方便，取其绝对值。另外，在实际应用中，也常用符号表示。()dPdQpEQdP例1解100ddPQ100020QP时，当.2100020100PE所以时的弹性．当，求某需求曲线为：203000100PPQ24例.设某函数的需求量关于价格的函数为,分别求,,时的需求价格弹性，并说明其经济意义.42345pQQep解ppEQQ()4414pppee14p时，.1330754ppE时，14414ppE时，.1551254ppE价格为时，价格上涨（降低）%个单位，需求量会减少（增加）.%.31075价格为时，价格上涨（降低）%个单位，需求量会减少（增加）%.411价格为时，价格上涨（降低）%个单位，需求量会减少（增加）.%.51125.－－收益的销售弹性EQER2.收益弹性RPPREPERddRQQREQERdd收益的价格弹性；式中：EPER例3假设某产品的需求函数100PX，其中X为产量(假定等于需求量)，P为价格，求收益的价格弹性．解：PPXPRPX/10)(,/10042211010/10d)/10(d244244PPPPPPEPER27例.设某函数的需求函数为(),求：（）当时的需求弹性，并说明其经济意义；（）当时，若价格上涨%，总收益将变化百分之几？（）当时，若价格上涨%，总收益将变化百分之几？247514241361QQppppppp解（）()()()21275EQppQppEpQpp时，().24424054754EQpEp价格为时，价格上涨（降低）%个单位，需求量会减少（增加）.%.4105428()()()()RppQppppp2327575()()ppERpRpEpRp44()|.ppppp24375304675当时，若价格上涨%，总收益将增加.%41046pp（）()()663ppERpRpEpRp.()|263753785046ppppp当时，若价格上涨%，总收益将减少.%610846pp当需求价格弹性大于1时，降价增加销售收入；当需求价格弹性小于1时，降价反而会减少销售收入此时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，边际收益小于0，即价格上涨，总收益减少，价格下跌，总收益增加；此时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，边际收益大于0，即价格上涨，总收益增加，价格下跌，总收益减少；当需求价格弹性等与1时，当价格的变化时，总收益不变．3.供给弹性定义：，则供给弹性弹性．设价格曲线通常指的是供给的价格)(PfQ供给的价格弹性．　，　式中：PPEQPPQEdd解：PPQPQPEPPQ323dd,3dd故时当3P11933233PE.3,327时的供给弹性及当求供给弹性函数设某产品的供给函数例PPQ已知价格需求方程价格为时的需求弹性，如果价格降低%，需求变化多少？价格为时的需求弹性，如果价格降低%，.，求：将需求表需求变化多少？价格为时的需求弹性，如果价格降低%，需求变化多少？ 示成价格的函数； ()()()001501104210534554252555pxxEEE解：()由.得().110015050001pxxp5000100xp()2pdxpEdpx1005000100pp50pp()101050pppEp.025如果价格降低%,5需求会变化.%0255.%125()()4534550pppEp9如果价格降低%,5需求会变化%95%45()()2542550pppEp1如果价格降低%,5需求会变化%15%5边际的基本概念1边际成本2边际收益3边际利润4边际需求弹性的基本概念1需求弹性2供给弹性3收益弹性边际函数的计算弹性函数的计算