邻域概念

第一章函数§1.1集合§1.2函数§1.3复合函数与反函数§1.4基本初等函数与初等函数§1.5经济学中常用的几个函数函数是微积分的一个重要概念,也是现代数学研究的一个基本对象.有关函数概念,在中学数学中我们有了初步的了解,在这一章中,对集合、映射、函数、函数特性、基本初等函数、初等函数等概念作进一步的讨论.§1.1集合一.集合的概念二.集合的运算三.区间与邻域一.集合的概念M={x|x具有的某种性质}所谓集合是指具有某种确定性质的对象的全体.组成集合的每一个对象称为该集合的元素.集合分有限集和无限集.如全体自然数的集合为无限集.如方程x2-1=0的解集就是有限集.设M是具有某种确定性质的元素x的全体所组成的集合,记作二.集合的运算1.集合的并集2.集合的交集记做A∪B,即A∪B＝{x|xA或xB}记做A∩B,即设A、B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合,称为Ａ与B的并,设A、B是两个集合,由所有既属于Ａ又属于B的元素组成的集合,称为A与B的交集,3.集合的差集记做A\B,即A\B＝｛x|xA且xB}4.集合的运算规律交换律A∪B=B∪A;A∩B=B∩A设A、B是两个集合,由所有属于A而不属于B的元素组成的集合,称为A与B的差集.A∩B＝｛x|xA且xB}结合律(A∪B)∪C=Ａ∪(Ｂ∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律(A∪B)∩C=(Ａ∩C)∪(Ｂ∩C)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)对偶律ABABABAB吸收律A∪A=AA∩A=AA∪Ф=AA∩Ф=Ф5.直积（或笛卡儿乘积）设A、Ｂ是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,由x,y组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新的元素,它们全体组成的集合称为集合A与B的笛卡儿乘积,记做AB.即AB={(x,y)│xA且yB}例如,若A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤2}则A与B的笛卡儿乘积AB={(x,y)|1≤x≤2|1≤y≤2}为xoy平面上的一个矩形.ABAB如图,0,0aaaaa6.绝对值的性质(1),;aaaaa性质(2);abab(3)(0);aabbb记babbab(4),(0)ababab(6);ababab(5);abab(7).((0));ababbab或(,){}abxaxb(,),(,).aabbab°°ba类似还有闭区间,半开半闭区间以及无限区间.其中数b−a称为有限区间的长度.其中a和b称为开区间的端点,(如图)记作(a,b),即三.区间与邻域设a,b都是实数,且ab,数集{x|axb}称为开区间.abxaxb(,]{},[,){},abxaxb•°ab•°b(,){},axxa°a(,]{},axxa•aabxaxb[,]{},ab••[,){},axax•a(,){},axax°a(,){}.xx在微积分中常用到特殊的开区间——邻域.设x0,δR,其中δ0,以x0为中心,以δ为半径,长为2δ的开区间.即xxxxx000(,){,0}20x0x0x称为点x0的δ邻域,记为U(x0,δ).例1点1的2邻域{x||x-1|2}=(-1,3).点−(½)的½邻域记为{x||x+½|½}=(-1,0).点x0的去心邻域.即0000000U(,){0}(,)(,)xδxxxδxδxxxδ2°0x0x0x点x0的左邻域,即000{0}(,)xxxxx000{0}(,)xxxxx点x0的右邻域,即可类似定义多元微积分中用到的平面上点的邻域.平面上以点M0(x0,y0)为心,以δ0为半径的圆内的点222000(,){(,)()(),0}UMxyxxyy例2点(1,1)的½邻域是平面上以点(1,1)为心,½为半径的221{(,)(1)(1)}4xyxyo11xy一个开圆—圆邻域,即的全体.即集合°或以M0为心,2δ为边长的正方形区域.即集合000(,){(,),}UMxyxxyy为M0的子邻域——方邻域.oy0x0xy