信号与系统 第一章概要

1信号与系统张宇讲师天津大学精仪学院精仪系四室2第一章信号与系统§1.1绪言一、信号、系统及相互关系二、信号与系统的理论体系三、课程性质和课程定位四、学习目的和学习方法五、参考书目和几点原则3确定信号与随机信号；时间连续与时间离散（模拟与数字）；周期信号与非周期信号；能量信号与功率信号；实信号与复信号；一维信号与多维信号；§1.2信号的分类4§1.3几种典型连续时间信号1.指数信号2.正弦信号3.复指数信号4.抽样信号***5.钟形脉冲信号（高斯函数）5加（减）、乘（除）、微分（积分）反转与平移尺度变换（横坐标展缩）§1.4信号的基本运算与基本变换6§1.5阶跃函数与冲激函数***函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。1.单位斜变信号2.单位阶跃信号3.单位冲激信号4.冲激偶信号基本奇异函数：主要内容：•基本定义•物理解释•相互关系•重要性质7一．系统数学模型二．系统的线性***三．系统的时不变特性四．系统的因果性五．系统的稳定性六．系统的框图表示§1.6系统的描述与分类（性质）系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。系统的分析方法：输入输出法（外部法）状态变量法（内部法）（chp.8不讲)外部法时域分析（chp.2,chp.3)变换域法连续系统—频域法(4)和复频域法(5)离散系统—z域法（chp6)系统特性：系统函数（chp.7部分)§1.7LTI系统分析方法概述（1）把零输入响应和零状态响应分开求。（2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。求解的基本思路：采用的数学工具：（1）卷积积分与卷积和（2）傅里叶变换（3）拉普拉斯变换（4）Z变换三个重要问题：（1）基本信号及响应；（2）复杂信号的分解；（3）LTI系统分析方法。10§1.7LTI系统分析方法概述（绪论）时域时域(离散)频域(jw)频域(ejq)S域(连续)Z域(离散)基本信号d(t)d(k)ejwtejqkest(S=s+jw)Zk(Z=rejq)数学方法卷积积分卷积和FS、FTDFSDTFTLTZT系统模型h(t)h(k)H(jw)H(ejq)H(S)H(Z)3+234(6+3)311第一章小结信号分类：连续&离散（模拟、数字）；能量、功率信号典型连续信号（抽样信号）阶跃信号与冲激信号（定义、物理意义、常用特性）系统基本概念：系统模型；系统描述（分类）系统线性（零输入、零状态响应）系统时不变性、稳定性、因果性系统（连续）的框图模型与微分方程模型12第一章作业p23:1.2(3)(7);1.6(6)(7);1.9;1.10(2)(4)(6)1.20(a)(b);1.291.324sin()6tdd+=?212d+=()()tted例某LTI因果连续系统，起始状态为x(0–)。已知，当x(0–)=1，输入因果信号f1(t)时，全响应y1(t)=e–t+cos(πt)，t0；当x(0-)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应y2(t)=–2e–t+3cos(πt)，t0；求输入f3(t)=+2f1(t-1)时，系统的零状态响应y3f(t)。ttfd)(d1解设当x(0–)=1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y1x(t)、y1f(t)。当x(0-)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y2x(t)、y2f(t)。由题中条件，有y1(t)=y1x(t)+y1f(t)=e–t+cos(πt)，t0（1）y2(t)=y2x(t)+y2f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t0（2）根据线性系统的齐次性，y2x(t)=2y1x(t)，y2f(t)=3y1f(t)，代入式（2）得y2(t)=2y1x(t)+3y1f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t0（3）式(3)–2×式(1)，得y1f(t)=–4e-t+cos(πt)，t0由于y1f(t)是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响应，故当t0，y1f(t)=0；因此y1f(t)可改写成y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)(4)f1(t)→y1f(t)=[-4e-t+cos(πt)]ε(t)根据LTI系统的微分特性ttyttfd)(dd)(d1f1=-3δ(t)+[4e-t-πsin(πt)]ε(t)根据LTI系统的时不变特性f1(t-1)→y1f(t-1)={-4e-(t-1)+cos[π(t-1)]}ε(t-1)由线性性质，得：当输入f3(t)=+2f1(t–1)时ttfd)(d1y3f(t)=+2y1(t-1)=–3δ(t)+[4e-t–πsin(πt)]ε(t)+2{-4e-(t-1)+cos[π(t-1)]}ε(t-1)ttyd)(d116一、系统(数学)模型－－描述系统的基本特征为了便于对系统进行分析，需要建立系统的模型，在模型的基础上可以运用数学工具进行系统研究。给定系统的结构和参数、初始条件的情况下，)(tf)(ty已知系统的特性求()&()ftyt17)t(eR)t(idt)t(diL=+由数学表达式表示的系统模型，为系统的数学模型由理想电路元件符号表示的系统模型i(t)LR+e(t)-例如日光灯电路的电路模型什么是系统模型？1.4系统分析方法∑+-R/L∫e(t)1/Li(t)i’(t)由理想单元模型表示的系统框图18电感器的低频等效电路电感器的高频等效电路LRLRC1、建模是有条件的，同一物理系统，在不同的条件下，可以得到不同形式的数学模型。严格地说，只能得到近似的模型。系统模型——系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号组合图形来表示系统特性。关于系统模型的建立有几个方面须说明：1.4系统分析方法192、不同的物理系统，有可能得到形式上完全相同的数学模型。C)(tucR)(tiS(t=0)0)0(Uuc=RC电路的零输入响应：0)0(0)()(UutudttduRCccc==（1－1）Mu(t)（速度）Bu(t)(摩擦力）初速度）()0(0)()(0UutBudttduM==（1－2）物体的减速运动：（1－1）与（1－2)是形式上完全相同的数学模型1.4系统分析方法203、较复杂的系统，同一系统模型可有多种不同的数学表现形式状态方程---------------适合于多输入多输出系统分析（一阶微分方程组）例：)()()()(22tutudttduRCdttudLCsccc=++若选)(),(tutic作为输出，则系统的状态方程为：sccuLtiLRuLdtditicdttdu1)(1)(1)(+==一阶微分方程组-------状态方程R+)(tusL)(tiC+uc(t)-1.4系统分析方法1.连续系统与离散系统若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续信号，则称该系统为连续时间系统，简称为连续系统。若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，则称该系统为离散时间系统，简称为离散系统。2.动态系统与即时系统若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。3.单输入单输出系统与多输入多输出系统系统的分类（描述）：22六、系统的框图表示Y(t)=f(t-T)Tf(t)∑f1(·)f2(·)f1(·)+f2(·)×f1(·)f2(·)f1(·)·f2(·)af(·)af(·)f(·)af(·)a∫f（t）=tdfty)()((a)积分器Y(k)=f(k-1)Df(k)(b)延迟单元(c)加法器(d)乘法器(e)标量乘法器(f)延时器（延时T）基本单元：23∑+-a1∫f（t）y(t)∫-a0y’(t)y’’(t)y’’(t)=-a1y’(t)-a0y(t)+f(t)即：y’’(t)+a1y’(t)+a0y(t)=f(t)由系统的框图表示列写系统微分方程-1：24∑+-a1f(t)x(t)-a0x’(t)x’’(t)∑y(t)∫∫b0b1b2x’’(t)=-a1x’(t)-a0x(t)+f(t)即，x’’(t)+a1x’(t)+a0x(t)=f(t)对于左边的加法器，有：对于右边的加法器，有：y(t)=b2x’’(t)+b1x’(t)+b0x(t)a0y=b2(a0x’’)+b1(a0x’)+b0(a0x)a1y’=b2(a1x’’)’+b1(a1x’)’+b0(a1x)’y’’=b2(x’’)’’+b1(x’)’’+b0(x)’’所以，y’’(t)+a1y’(t)+a0y(t)=b2f’’(t)+b1f’(t)+b0f(t)由框图到方程-225由线性叠加原理列写框图方程y1’’(t)+a1y1’(t)+a0y1(t)=b0f(t)y1’(t)/b0∑+-a1∫f（t）y1(t)/b0∫-a0y1’’(t)/b0y1(t)b0y2’’(t)+a1y2’(t)+a0y2(t)=b1f’(t)∑+-a1∫f（t）∫-a0y3(t)b2y3’’(t)+a1y3’(t)+a0y3(t)=b2f’’(t)∑-a1f(t)-a0∑y(t)∫∫b0b1b2y’’(t)+a1y’(t)+a0y(t)=b2f’’(t)+b1f’(t)+b0f(t)∑+-a1f（t）∫-a0∫y2(t)/b1y2(t)b1y2(t)/b1y’2(t)/b1∫26框图到方程-3（例）∑+-3f(t)x(t)-2x’(t)x’’(t)∑y(t)∫∫13所以，y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=3f’’(t)+0f’(t)+1f(t)即，y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=3f’’(t)+f(t)∑+-3f(t)x’(t)-2x’’(t)x’’’(t)∑y(t)∫∫13∫x(t)-2即，y’’’(t)+3y’’(t)+2y’(t)+2y(t)=3f’’(t)+f(t)有y’’’(t)+3y’’(t)+2y’(t)+2y(t)=0f’’’(t)+3f’’(t)+0f’(t)+1f(t)27y1(t)3二、系统的线性1、系统的线性的基本含义＝齐次性与可加性X1(t)X2(t)355y2(t)线性系统3X1(t)+5X2(t)3y1(t)+5y2(t)齐次性：可加性：T[af1(·)+bf2(·)]=aT[f1(·)]+bT[f2(·)]2、动态系统是线性系统的条件动态系统不仅与激励{f(·)}有关，而且与系统的初始状态{x(0)}有关。初始状态也称“内部激励”。完全响应可写为y(·)=T[{f(·)},{x(0)}]零状态响应为yf(·)=T[{f(·)},{0}]零输入响应为yx(·)=T[{0}，{x(0)}]当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：②零状态线性：T[{af(·)},{0}]=aT[{f(·)},{0}]T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1(·)},{0}]+T[{f2(·)},{0}]或T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(·)},{0}]+bT[{f2(·)},{0}]③零输入线性：T[{0},{ax(0)}]=aT[{0},{x(0)}]T[{0},{x1(0)+x2(0)}]=T[{0},{x1(0)}]+T[{0},{x2(0)}]或T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]①可分解性：y(·)=yf(·)+yx(·)=T[{f(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}]例：判断下列系统是否为线性系统？（1）y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t)+1（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|（3）y(t)