概率统计和随机过程课件§7.3 统计量的分布

§7.3统计量的分布确定统计量的分布——抽样分布,是数理统计的基本问题之一.采用求随机向量的函数的分布的方法可得到抽样分布.由于样本容量一般不止2或3(甚至还可能是随机的),故计算往往很复杂,有时还需要特殊技巧或特殊工具.由于正态总体是最常见的总体,故本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.1设是取自总体X的一个样本,),,,(21nXXX),,,(21nrrrg为一实值连续函数,且不含有未知参数,),,,(21nXXXg则称随机变量为统计量.),,,(21nxxxg),,,(21nxxx若是一个样本值,称),,,(21nXXXg的一个样本值为统计量定义统计量2常用的统计量niiXnX11)1(为样本均值niiXXnS12211)2(为样本方差niiXXnS1211为样本标准差),,,(21nXXX设是来自总体X的容量为n的样本,称统计量3(1)正态分布则niiiniiiniiiaaNXa12211,~特别地,nNXnXnii21,~1则二、统计中常用统计量分布nXXX,,,21),(~2NXi若i.i.d.~若nXXX,,,21),(2iiN独立分别服从4(2))(2n分布(n为自由度)定义设nXXX,,,21相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则niinX122)(~n=2时,其密度函数为0,00,21)(2xxexfx为参数为1/2的指数分布.50,00,)(21)(12222xxxexfnxnn一般地,其中，01)(dtetxtx在x0时收敛，称为函数，具有性质)(!)1()2/1(,1)1(),()1(Nnnnxxx)(2n的密度函数为自由度为n的6221(),()2.EnnDnn22112212212122(),(),,().XnXnXXXXnn若相互独立，则＋～＋23()nn时，正态分布.24()n分布的分位数有表可查.(p369)分布的性质)(2n8(3)t分布(Student分布)定义则T所服从的分布称为自由度为n的T分布其密度函数为nYXTtntnnntfn2121221)(ΓΓ),(~,)1,0(~2nYNXX,Y相互独立,设9t分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=2010t分布的性质1°fn(t)是偶函数,2221)()(,tnettfn2°T分布的分位数t与双侧分位数t/2有表可查(p366)11(4)F分布则F所服从的分布称为第一自由度为n,第二自由度为m的F分布mYnXF//0,001222),,(2122tttmntmnmΓnΓmnΓmntfmnnn其密度函数为定义),(~),(~22mYnXX,Y相互独立，设令12m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=1013F分布的性质),(~1,),(~1nmFFmnFF则若例如11(,)(,)FnmFmn事实上,0.050.9511(5,4)(4,5)5.19FF故2(,)(,)p375):((,))FnmFnmPFFnm的分位数有表可查(但0.95(4,5)5.19F0.05(5,4)?FF(n,m)•1234560.10.20.30.40.50.614151((,)(,))PFnmFnm111(,)(,)PFnmFnm故1~(,)(,)FmnFnm由于1111(,)(,)PFnmFnm1),(),(11nmFmnF因而111(,)(,)PFnmFnm例1证明11(,)(,)FnmFmn证:抽样本分布的某些结论(Ⅰ)一个正态总体)1(~)1(22122nXXSnnii22)1(Sn与X相互独立设22)(,)(),(~XDXENX总体的样本为()，则),(~2nNX)1,0(~NnX)1(~nTnSXSnX(1)(2)16(II)两个正态总体设nXXX,,,21是来自正态总体的一个简单随机样本),(~211NXmYYY,,,21是来自正态总体),(~222NY的一个简单随机样本它们相互独立.niiniiXXnSXnX12211)(111令mjjmjjYYmSYmY12221)(11117则)1(~)1()1(~)1(2222222121mSmnSn)1,1(~22222121mnFSS若21则)1,1(~2221mnFSS(3)18设nXXX,,,21是来自正态总体的一个简单随机样本),(~21NXmYYY,,,21是来自正态总体),(~22NY的一个简单随机样本,它们相互独立.则),(~1),(~1221211mNYmYnNXnXmjjnii)1,0(~)()(2221NmnYX),(~2221mnNYX19)1(~)1()1(~)1(22222221mSmnSn222221)1()1(SmSn)2(~2mnYX与222221)1()1(SmSn相互独立202)1()1()()(2222212221mnSmSnmnYX2)1()1(11)()(222121mnSmSnmnYX)2(~mnt(4)21的概率不小于90%,则样本容量至少应为多少?例2设总体)100,72(~NX,为使样本均值大于70解设样本容量为n,则)100,72(~nNX故)70(1)70(XPXPn1072701n2.0令9.02.0n得29.12.0n即6025.41n所以取42n22例3从正态总体),(~2NX中，抽取了n=20的样本2021,,,XXX(1)求22012276.120137.0iiXXP(2)求22012276.120137.0iiXP23解(1))19(~119)1(~)1(22012222222iiXXSnSn即22012276.120137.0iiXXP故2.3514.720122iiXXP20202222111135.27.4iiiiPXXPXX(P372,P370)0.990.010.98查表24(2))20(~22012iiX22012276.120137.0iiXP故2.354.72012iiXP2220201135.27.4iiiiXXPP0.9950.0050.9925例4设随机变量X与Y相互独立，X~N(0,16),Y~N(0,9),X1,X2,…,X9与Y1,Y2,…,Y16分别是取自X与Y的简单随机样本,求统计量2162221921YYYXXX所服从的分布解)169,0(~921NXXX)1,0(~)(431921NXXX2616,,2,1,)1,0(~31iNYi)16(~3122161iiY16314311612921iiYXXX)16(~t2162221921YYYXXX从而27例5设总体)1,0(~NX的样本,26542321)()(XXXXXXY621,,,,XXX为总体X试确定常数c使cY服从2分布.解)3,0(~,)3,0(~654321NXXXNXXX)1,0(~31,31654321NXXXXXX265423213131XXXXXX故因此31c)2(~312Y28X例6设nXXX,,,21是来自正态总体N(,2)的简单随机样本,是样本均值,,)(111221niiXXnS,)(11222niiXXnS,)(111223niiXnS,)(11224niiXnS则服从自由度为n-1的t分布的随机变量为:1)A(1nSX1)B(2nSXnSX3)C(nSX4)D(29)1,0(~NnX)1(~)(12122nXXnii1)(1122nXXnXnii)1(~ntniiXXXnn12)()()1(故应选(B)解30212(,),,...nXNXXXS设总体为总体的一个样本，为样本均值，为样本方差，则下面结论正确的是22212222(-)2(,),()(1,1)-()-1()1(1)nXAXXNBFnSSXCnDntnS（）（）22(1),/Xn222(1)(1)nSn例7据F分布的定义：解31222/(1,1)XnFnS故答案为（B）例821,....,()0,nXXXDXX设为总体的一个样本且为样本均值，则下面结论成立的是22112211AcovXX,()cov(XX)31()(),()()BnnnCDXXDDXXnn（）(,)=,=答案：A，C32作业•习题七4，5，633