概率统计和随机过程课件第三章 二维随机变量及其分布

第三章二维随机变量及其分布在实际问题中,试验结果有时需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.例如用温度和风力来描述天气情况.通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究钢的成分.要研究这些随机变量之间的联系,就需考虑若干个随机变量,即多维随机变量及其取值规律——多维分布.1§3.1二维随机变量及其分布定义设为随机试验的样本空间，2)(),(RYX一定法则则称二维向量(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量二维随机变量及其分布函数讨论：二维随机变量作为一个整体的概率特性其中每一个随机变量的概率特性与整体的概率特性之间的关系2二维随机变量的联合分布函数定义设(X,Y)为二维随机变量，对于任何一对实数(x,y),事件)()(yYxX定义了一个二元实函数F(x,y)，称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，即yYxXPyxF,),((记为)yYxX,的概率yYxXP,3分布函数的几何意义如果用平面上的点(x,y)表示二维随机变量(X,Y)的一组可能的取值，则F(x,y)表示(X,Y)的取值落入下图所示的角形区域的概率xy(x,y)4联合分布函数的性质0),(F),(xy(x,y)xy),(1),(0yxF1),(F50),(xFxyxy-0),(yF(,)0F(,)0F6固定x,对任意的y1y2,F(x,y1)F(x,y2)固定y,对任意的x1x2,F(x1,y)F(x2,y)F(x0,y0)=F(x0+0,y0)F(x0,y0)=F(x0,y0+0)F(b,d)–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c)0事实上F(b,d)–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c)=P(aXb,cYd)abcd对每个变量单调不减对每个变量右连续对于任意的ab,cd7例11,11,0),(yxyxyxF设讨论F(x,y)能否成为二维随机变量的分布函数？解xy•(0,0)•(2,0)•(2,2)•(0,2))0,0()0,2()2,0()2,2(FFFF10111故F(x,y)不能作为二维随机变量的分布函数8注意对于二维随机变量),(1,caFcYaXPxyac(a,c)),(,YcXaPcYaXP),(),(),(1caFaFcF(a,+)(+,+)(+,c)9定义若二维随机变量(X,Y)的所有可能的取值为有限多个或无穷可列多个,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.要描述二维离散型随机变量的概率特性及其与每个随机变量之间的关系常用其联合概率分布和边缘概率分布二维离散型随机变量及其概率特性10联合概率分布设(X,Y)的所有可能的取值为则称为二维随机变量(X,Y)的联合概率分布或联合分布律，也简称概率分布或分布律显然，,2,1,,),(jipyYxXPijji,2,1,),,(jiyxji,2,1,,0jipij111ijijp11二维离散型随机变量的联合分布函数(,),,ijijxxyyFxypxy已知联合分布律可以求出其联合分布函数反之，已知分布函数也可以求出其联合分布律,2,1,,)0,0(),0()0,(),(),(jiyxFyxFyxFyxFyYxXPjijijijiji12例3把三个球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，每盒容纳的球数无限.记X为落入1号盒的球数，Y为落入2号盒的球数，求(1)(X,Y)的联合分布律；(2)P(X=Y),P(YX);解联合分布律的求法：利用乘法公式(,)ijPXxYy)()(jijyYxXPyYP或常用列表的方法给出()()ijiPXxPYyXx13(1)本例中，)()(),(iXjYPiXPjYiXP331233iiiC;3,2,1,0;3,,0iij其联合分布如下表所示3311122jijjiC14XYpij012301232712719191271000919100919192015(2)由表可知277)(XYP2710)(XYP16例4把3个红球和3个白球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中,每盒容纳的球数无限,记X为落入1号盒的白球数,Y为落入1号盒的红球数.求(X,Y)的联合分布律.解)()(),(iXjYPiXPjYiXPjjjiiiCC33333113132313,2,1,0,ji见下表17XYpij01230123278278942789227891278278949494929427194278929492929227192922712782719427127127118二维连续型随机变量及其联合概率特性定义设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在非负可积函数f(x,y),使得对于任意实数x,y有xydvduvufyxF),(),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X,Y)的联合密度函数简称为联合密度或概率密度19联合密度与联合分布函数的性质除了分布函数的一般性质外还有下述性质),(2yxfyxFyxyxfyyYyxxXxP),(),(f(x,y)反映了(X,Y)在(x,y)附近单位面积的区域内取值的概率0),(yxf1),(dydxyxf对每个变元连续，在联合密度的连续点处20P(X=a,-Y+)=0P(-X+,Y=a)=0GdxdyyxfGYXP),(),(若G是平面上的区域，则P(X=a,Y=b)=021例6设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为其他,0,10,0,),(yyxkxyyxf其中k为常数.求(1)常数k;(2)P(X+Y1),P(X0.5);(3)联合分布函数F(x,y);22y=x10xy10,0),(yyxyxD解令D(1)1),(dxdyyxf1),(Ddxdyyxf10210082kdyyykkxydxdyy8k23y=x10xy(2))1(YXP0.5y=x10xy15.018yyxydxdy65y=x10xy0.5)5.0(XP5.0018xxydydx16724当0x1,0yx时(下半三角形)，1(3)xydvduvufyYxXPyxF),(,),(当x0或y0时，F(x,y)=04008),(yuvdudvyxFyv当0x1,xy1时(上半三角形)，422028),(xyxuvdvduyxFxyuv=u10uv25当0x1,y1时，420128),(xxuvdvduyxFxuv=u10uv126当x10y1时，4008),(yuvdudvyxFyvv=u10uv1当x1y1时，1),(yxF27F(x,y)=0,x0或y0y4,0x1,0yx，2x2y2–y4,0x1,xy1，2x2–x4,0x1,y1，y4,x1,0y1，1,x1,y1，28常见的连续型二维随机变量的分布设区域G是平面上的有界区域，其面积为A(0)若二维随机变量(X,Y)的联合密度为其他,0),(,1),(GyxAyxf则称(X,Y)服从区域G上的均匀分布区域G上的均匀分布，记作U(G)29G1G,设G1的面积为A1,AAGYXP11),(若(X,Y)服从区域G上的均匀分布,则边平行于坐标轴的矩形域上的均匀分布的边缘分布仍为均匀分布30若二维随机变量(X,Y)的联合密度为2211222221212212()()()()122(1)1(,)21,xxyyfxyexy则称(X,Y)服从参数为1,12,2,22,的正态分布,记作(X,Y)~N(1,12；2,22；)其中1,20,-11二维正态分布31Clear[f,x,y]f[x_,y_]:=Exp[-(x^2+y^2)/2]/(2Pi)Plot3D[f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},ViewPoint-{-2.869,1.790,0.110},AspectRatio-0.6,PlotPoints-30];323334令22212121BB为正定矩阵，2221212121222121111)1(||BB35则2112121212||)2(1),(yxByxeByxf36作业习题三•2，3，4，8，937