概率统计和随机过程课件第四章 随机变量的函数的分布

内容复习问题：已知随机变量X的概率特性——分布函数或密度函数（分布律）Y=g(X)求随机因变量Y的概率特性方法：将与Y有关的事件转化成X的事件第四章随机变量的函数的分布1设随机变量X的分布律为,2,1,)(kpxXPkk由已知函数g(x)可求出随机变量Y的所有可能取值，则Y的概率分布为,2,1,)()(ipyYPikyxgki离散型随机变量函数的分布2已知随机变量X的密度函数f(x)(或分布函数)求Y=g(X)的密度函数或分布函数方法：（1）从分布函数出发（2）从密度函数出发连续性随机变量函数的分布3一般地yx1x2x3y=g(x)xnxxnXxxXxxXYdxdyxfdxdyxfdxdyxfyf)()()()(2121xn4()(,)()()ygxabxhyYgX在区间上严格单调，其反函数有连续导数，则是一个连续型随机变量，其概率为[()]|()|(,)()0fhyhyycdy其它定理1121212(),(),(),(),()()ygxIIhyhyhyhyYgX在区间不相互重叠的区间上严格单调，其反函数为而且，均为连续函数，则是一个连续型随机变量，其概率为1122*[()]|()|[()]|()|()0fhyhyfhyhyyyI其它定理27§4.2二维随机变量函数的分布问题：已知二维随机变量(X,Y)的概率特性g(x,y)为已知的二元函数，Z=g(X,Y)求：Z的概率特性方法：转化为(X,Y)的事件8当(X,Y)为离散型随机变量时，Z也为离散型，),(kkjikyxgzZkkjkikkzyxgjikyYxXPzZP),(),()(,2,1k离散型二维随机变量的函数9问题：已知二维连续随机变量(X,Y)的概率特性g(x,y)为已知的二元函数，Z=g(X,Y)求：Z的概率分布和密度函数连续型二维随机变量的函数当(X,Y)为连续型随机变量时，)()(zZPzFZ)),((zYXgPzDdxdyyxf),(}),(|),{(:zyxgyxDz其中11-1-0.500.51-1-0.500.5100.250.50.751-1-0.500.51-1-0.500.51}),(|),{(:zyxgyxDz的几何意义：Dz12问题：已知随机变量(X,Y)的密度函数，Z=g(X,Y),g(x,y)已知.求：Z的密度函数方法：从求Z的分布函数出发，将Z的分布函数转化为(X,Y)的事件建立一个新的二维随机变量(Z,X)或(Z,Y),求其边缘分布得Z的密度函数二维连续型随机变量函数的分布13(1)和的分布：Z=X+Y设(X,Y)为连续型随机变量，联合密度函数为f(x,y),则•z•z)()(zZPzFZ)(zYXPzyxdxdyyxf),(xzdyyxfdx),(或yzdxyxfdy),(z14特别地，若X,Y相互独立，则dxxzxfzfZ),()()3(zdyyyzfzfZ),()(或dxxzfxfzfYXZ)()()(dyyfyzfzfYXZ)()()(或)()(zfzfYX记作)()(zfzfYX记作)1(z)2(z)4(z称之为函数fX(z)与fY(z)的卷积15例1已知(X,Y)的联合概率密度为其他,010,10,1),(yxyxfZ=X+Y,求fZ(z)解法一（图形定限法）其他,010,1)(xxfX其他,010,1)(yyfY显然X,Y相互独立,且16dxxzfxfzfYXZ)()()(10)(dxxzfY其他,01,1)(zxzxzfYz1z=x10)(dxxzfY,20,0zz或,10,10zdxz,21,111zdxzx211721,210,20,0)(zzzzzzzfZ或解法二从分布函数出发)()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(当z0时，0)(zFZ1yx118当0z1时，xzzZdydxzF001)(zdxxz0)(22zzzfZ)(1yx1•z•z19当1z2时，xzzZdydxzzF0111)1()(11)(1zdxxzz1222zzzzfZ2)(z-11yx1•z•z201yx122当2z时，1)(zFZ0)(zfZ21,210,20,0)(zzzzzzzfZ或21对于X,Y不相互独立的情形可同样的用直接求密度函数与通过分布函数求密度函数两种方法求和的分布例2已知(X,Y)的联合密度函数为其他,00,10,3),(xyxxyxfZ=X+Y,求fZ(z)解法一（图形定限法）其他,02,10,3),(xzxxxxzxfdxxzxfzfZ),()(由公式（1）最重要一步22zxx=112当z0或z2,zzzz当0z1,22/893)(zxdxzfzzZ当1z2,)41(233)(212/zxdxzfzZfZ(z)=023其他,021),41(2310,89)(22zzzzzfZ这比用分布函数做简便24解法二（不等式组定限法）dxxzxfzfZ),()(考虑被积函数取非零值的区域xxzx010)(102zxxz由此不等式边边相等，解得z轴上的三个分界点0，1，2当或时不等式组无解20zz)(当时不等式组解为10z)(zxz2当时不等式组解为21z)(12xz25其他021)1(3103)(1223289222zxdxzzxdxzfzzzzZ26正态随机变量的情形（重要）若X,Y相互独立,),(~),,(~222211NYNX则),(~222121NYX若(X,Y));,;,(~222211N则)2,(~22212121NYXniNXiii,,2,1),,(~2若nXXX,,,21相互独立,则),(~1211niiniiniiNX27推广：已知(X,Y)的联合密度f(x,y)求Z=aX+bY+c的密度函数,其中a,b,c为常数，a,b0.).(,||1)(eazdxbcaxzxfbzfZ.).(,||1)(eazdyyacbyzfazfZ28另一种计算fZ(z)的方法:先构造一个新的二维随机变量(Z,U),它们是(X,Y)的函数，而Z=aX+bY+c求(Z,U)的联合密度函数f(z,u)求边缘密度fZ(z)29设),(),(yxruyxgz存在唯一的反函数：h,s有连续的偏导数，记uszsuhzhuzJ),(),(),(uzsyuzhx则||)),(),,((),(JuzsuzhfuzfXYUZ已知(X,Y)的联合密度fXY(x,y)求(Z,U)的联合密度函数fZU(z,u)的方法：30证),(),(uUzZPuzFZU)),(,),((uYXrzYXgPdxdyyxfuyxrzyxgXY),(),(),(1111111111|),(|)),(),,((dudzuzJuzsuzhfuuzzXYzuXYdzduuzJuzsuzhf11111111|),(|)),(),,((|),(|)),(),,((),(uzJuzsuzhfuzfXYZU31例3已知(X,Y)的联合密度函数为其他,00,10,3),(xyxxyxfZ=X+Y,求fZ(z)解法三令YUYXZUYUZX1|1011|||J321),(),(uuzfuzfZU其他,00,10),(3uzuuzuz其他,010,12),(3uuzuuzuz211最重要一步33duuzfzfZUZ),()(其他,021,4123)(310,89)(3221220zzduuzzzduuzzzz2uz34例4已知(X,Y)的联合密度f(x,y)求Z=aX+bY+c的密度函数,其中a,b,c为常数，a,b0解：令ZaXbYcUYZbUcXaYU||1|101|||aabaJ35||1,),(auacbuzfuzfZUduauacbuzfzfZ||1,)(36作业•习题四15，16，17，1837