圆复习(6)

1圆2015（6）2001-2014年上海市中考数学试题分类解析汇编圆一、选择题1.（2001上海市3分）如果⊙O1、⊙O2的半径分别为4、5，那么下列叙述中，正确的是【】．A．当O1O2＝1时，⊙O1与⊙O2相切B．当O1O2＝5时，⊙O1与⊙O2有两个公共点C．当O1O2＞6时，⊙O1与⊙O2必有公共点D．当O1O2＞1时，⊙O1与⊙O2至少有两条公切线【答案】A，B，D。【考点】两圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，A．当O1O2＝1时，两圆圆心距离等于两圆半径之差，⊙O1与⊙O2内切，正确；B．当O1O2＝5时，两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差，⊙O1与⊙O2相交，⊙O1与⊙O2有两个公共点，正确；C．当O1O2＞9时，两圆圆心距离大于两圆半径之和，⊙O1与⊙O2相离，⊙O1与⊙O2没有公共点，错误；D．当1＜O1O2＜9时，两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差，⊙O1与⊙O2相交，⊙O1与⊙O2有两条公切线，当O1O2=9时，两圆圆心距离等于两圆半径之和，⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2有三条公切线，当O1O2＞9时，两圆圆心距离大于两圆半径之和，⊙O1与⊙O2相离，⊙O1与⊙O2有四条公切线，∴当O1O2＞1时，⊙O1与⊙O2至少有两条公切线，正确。故选A，B，D。2.（上海市2007年4分）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是【】A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块【答案】B。【考点】确定圆的条件。2【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小。第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，从而可得到半径的长。故选B。3.（上海市2010年4分）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1=3，则圆O1与圆O2的位置关系是【】A.相交或相切B.相切或相离C.相交或内含D.相切或内含【答案】A。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】根据圆与圆的五种位置关系，分类讨论：当两圆外切时，切点A能满足AO1=3，当两圆相交时，交点A能满足AO1=3，当两圆内切时，切点A能满足AO1=3，所以，两圆相交或相切。故选A。二、填空题1.（2001上海市2分）一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为▲米．【答案】52。【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】根据题意画出图形，利用垂径定理和勾股定理解答：根据题意，AB=4，CD=1，则根据垂径定理得AC=2。设半径为x，根据勾股定理得，222AOACOC，即222x2x1，解得x=52。2.（上海市2002年2分）两个以点O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，如果AB的长为24，大圆的半径OA为13，那么小圆的半径为▲．3【答案】5。【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理。【分析】连接过切点的半径OC，根据切线的性质定理和垂径定理得半弦AC是12，再根据勾股定理得小圆的半径OC是5。3.（上海市2003年2分）已知圆O的弦AB＝8，相应的弦心距OC＝3，那么圆O的半径等于▲。【答案】5。【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】连接圆心和弦的一端，在构造的直角三角形中，通过解直角三角形即可求出⊙O的半径：如图，连接OA。∵OC⊥AB，∴AC=BC=4。在Rt△OAC中，OC=3，AC=4，由勾股定理得：22OAACOC5，即⊙O的半径为5。4.（上海市2003年2分）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12。如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是▲。【答案】18＜r＜25或1＜r＜8。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】当⊙A和⊙C内切时，圆心距等于两圆半径之差，则r的取值范围是18＜r＜25；当⊙A和⊙C外切时，圆心距等于两圆半径之和，则r的取值范围是1＜r＜8。所以半径r的取值范围是18＜r＜25或1＜r＜8。5.（上海市2005年3分）如果半径分别为2和3的两个圆外切，那么这两个圆的圆心距是▲【答案】5。【考点】两圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的性质：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。∵这两圆的位置关系是外切，∴这两个圆的圆心距d=2+3=5。6.（上海市2008年4分）在ABC△中，5ABAC，3cos5B（如图）．如果圆O的4半径为10，且经过点BC，，那么线段AO的长等于▲．【答案】3或5。【考点】锐角三角函数，等腰三角形的性质，弦径定理，勾股定理。【分析】如图，过点A作ADBC交BC于点D，根据锐角三角函数，等腰三角形的性质和弦径定理，由5ABAC，3cos5B得3BDDC。由勾股定理，得4AD。在tBODR△中，3,10BDBO，∴由勾股定理，得1OD。当点O在BC上方，线段3AOADOD；当点O在BC下方，线段5AOADOD。7.（上海市2009年4分）在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA▲．【答案】5。【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】作出图象，先求出弦的一半的长，再利用勾股定理即可求出：作OCAB，垂足为C，可得：OC=4，132ACAB，根据勾股定理可得：2222435OAOCAC。8.（上海市2011年4分）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝▲．【答案】6。【考点】垂径定理，三角形中位线定理。【分析】由AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，根据垂径定理可知M、N为AB、AC的中点，线段MN为△ABC的中位线，根据中位线定理可知BC＝2MN＝6。9.（2012上海市4分）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是【】A．外离B．相切C．相交D．内含【答案】D。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，6﹣2=4，4＞3，即两圆圆心距离小于两圆半径之差，5∴这两个圆的位置关系是内含。故选D。10.（2013，上海，4分）在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为___________.三、解答题1.（2001上海市10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：（1）AC是⊙O的切线；（2）AB＋EB＝AC．【答案】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F，∵AB为⊙D的切线，AD平分∠BAC，∴BD=DF。∴AC为⊙D的切线。（2）在Rt△BDE和Rt△FDC中，∵BD=DF，DE=DC，∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）。∴EB=FC。∵AB=AF，∴AB+EB=AF+FC，即AB+EB=AC。【考点】切线的判定和性质，全等三角形的的判定和性质。【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF等于半径，得出AC是⊙D的切线。（2）证明△BDE≌△FDC（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB=AF，得出AB+EB=AC。2.（上海市2002年10分）已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，直线CM、DN分别切半圆于点C、D，且分别和直线AB相交于点M、N．（1）求证：MO＝NO；（2）设∠M＝30°，求证：NM＝4CD．63.（上海市2004年10分）在△ABC中，BACABAC9022°，，圆A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设BOx，△AOC的面积为y。（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时，△AOC的面积。【答案】解：（1）∵在RtABC中，BACABAC9022°，，∴22884BCABAC。∵BOx，∴4OCx，且OC边上的高为2。∴1(4)242AOCSxx。7∴y关于x的函数解析式为4(04)yxx。（2）如图，过点A作AD⊥BC于点D，当点O与点D重合时，圆O与圆A相交，不合题意；当点O与点D不重合时，在RtAOD中，222224|2|48AOADODxxx。∵圆A的半径为1，圆O的半径为x，∴①当圆A与圆O外切时，()xxx14822，解得：x76。此时△AOC的面积y476176。②当圆A与圆O内切时，()xxx14822，解得x72。此时△AOC的面积y47212。∴当圆A与圆O相切时，△AOC的面积为176或12。【考点】勾股定理，建立函数关系式，两圆相切的性质。【分析】（1）用x表示出OC，即可建立y关于x的函数解析式。（2）根据两圆相切的性质，分两圆外切和内切即可。4.（上海市2006年10分）本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使得A，B之间的距离与A，C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图所示．请你帮他们求出滴水湖的半径。【答案】解：设圆心为点O，连结OB，OA，OA交线段BC于点D．∵ABAC，∴ABAC。∴OABC⊥，且11202BDDCBC。由题意，5DA，设OBx米，在RtBDO△中，222OBODBD，即2225120xx，∴1442.5x。答：滴水湖的半径为1442.5米。【考点】弦径定理，勾股定理。8【分析】由已知条件，根据弦径定理和勾股定理即可求出滴水湖的半径。5.（上海市2006年14分）已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上．以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点．（1）如图，如果2APPB，PBBO．求证：CAOBCO△∽△（4分）；（2）如果APm（m是常数，且1m），1BP，OP是OA，OB的比例中项．当点C在圆O上运动时，求:ACBC的值（结果用含m的式子表示）（7分）；（3）在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围（3分）。【答案】解：（1）证明：∵2APPBPBBOPO，∴2AOPO。∴2AOPOPOBO。∵POCO，∴AOCOCOBO。∵COABOC∠∠，∴CAOBCO△∽△。（2）设OPx，则1OBx，OAxm。∵OP是OA，OB的比例中项，∴21xxxm，得1mxm，即1mOPm。∴11OBm。∵OP是OA，OB的比例中项，即OAOPOPOB，∵OPOC，∴OAOCOCOB。设圆O与线段AB的延长线相交于点Q，当点C与点P，点Q不重合时，∵AOCCOB∠∠，∴CAOBCO△∽△。∴ACOCBCOB即ACOCOPmBCOBOB，当点C与点P或点Q重合时，可得ACmBC。∴当点C在圆O上运动时，:ACBCm。（3）由（2）得，ACBC，且11ACBCmBCm，1ACBCmBC，圆B和圆C的圆心距dBC。9显然1BCmB