解答题重难点题型(七)-第22题类比、拓展探究题

解答题重难点题型(七)第22题类比、拓展探究题(2016·河南T22·10分)(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________．(用含a，b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【思路点拨】(1)当点A在线段CB延长线上时，AC长度最大；最大值是AB与BC长度之和；(2)①图中与BE相等的线段是CD.运用三角形全等的判定方法即可证明；②因为BE＝CD，所以求BE的最大值即求CD的最大值，根据(1)中结论可知CD的最大值为BD与CB的长度之和；(3)通过(2)的学习可知，如图4，需要构造△BPN≌△MPA，则BN＝AM，由(1)得当点N在BA的延长线上时，NB有最大值(如图5)，易得AN＝22，所以AM＝NB＝3＋22.过点P作PE⊥x轴于点E，PE＝EA＝2，从所以P(2－2，2)．解：(1)CB的延长线上a＋b2分(2)①CD＝BE，理由如下：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°.∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB.5分在△CAD与△EAB中，AD＝AB，∠CAD＝∠EAB，AC＝AE，∴△CAD≌△EAB(SAS)．∴CD＝BE.6分②BE长的最大值是4.8分(3)AM的最大值3＋22，点P的坐标为(2－2，2).10分【解法提示】如图4，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM.∵A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，∴OA＝2，OB＝5.∴AB＝3.∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值．∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB＋AN.∵AN＝2AP＝22，∴最大值为22＋3.如图5，过P作PE⊥x轴于点E，∵△APE是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝2.∴OE＝OA－AE＝2－2.∴P(2－2，2)．(2015·河南T22·10分)如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)问题发现①当α＝0°时，AEBD＝52；②当α＝180°时，AEBD＝52；(2)拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明；(3)问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．【思路点拨】(1)①根据题意可知DE是△ABC的中位线，根据中位线的性质和勾股定理求得AE的长度即可求解；②根据旋转180°，画出图形，结合①，分别得到AC，CE，BC和CD的长即可求解；(2)由(1)可知CECA＝CDCB，结合旋转的性质得到CECA＝CDCB任然成立，运用两边对应成比例，夹角相等求得，△ACE∽△BCD，利用相似三角形的性质，求得AEDB的值．(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时分两种情况讨论，即边DE在BC上方和在BC下方，再针对每一种情况分类讨论计算即可．【自主解答】(2)证明：在图1中，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴CECA＝CDCB，∠EDC＝∠B＝90°.∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，∴CECA＝CDCB仍然成立．在图2中，又∵∠ACE＝∠BCD，∴△ACE∽△BCD.∴AEBD＝ACBC.在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝42＋82＝45，∴ACBC＝458＝52，∴AEBD＝52.∴AEBD的大小不变．(3)45或1255.提示：如图3，当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，∴BD＝AC＝45；如图4，当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，由勾股定理可求得AD＝AC2－CD2＝8，∴AE＝AD－DE＝6，根据AEBD＝52可求得BD＝1255.1．(2017·河南T22·10分)如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是PM＝PN，位置关系是PM⊥PN；(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．解：(2)等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得∠BAD＝∠CAE.又AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.∵点P，M分别是DC，DE的中点，∴PM是△DCE的中位线．∴PM＝12CE且PM∥CE.同理可证PN＝12BD且PN∥BD.∴PM＝PN，∠MPD＝∠ECD，∠PNC＝∠DBC.∴∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD.∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠DBC＋∠PCN.∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋∠PCN＝∠ABC＋∠ACB＝90°.即△PMN为等腰直角三角形．(3)492.提示：由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝12BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD＝AB＋AD＝14，∴PM＝7，∴S△PMN最大＝12PM2＝12×72＝492.2．(2017·河南模拟预测二)(1)发现如图1，直线l1∥l2，l1和l2的距离为d，点P在l1上，点Q在l2上，连接PQ，填空：PQ长度的最小值为d；(2)应用如图2，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC＝2，AD＝4，AB＝6，点M是线段AD上，AM＝3MD，点N在直线BC上，连接MN，求MN长度的最小值；(3)拓展如图3，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC＝2，AD＝4，AB＝6，点M在线段AD上任意一点，连接MC并延长到点E，使MC＝CE，以MB和ME为边作平行四边形MBNE，请直接写出线段MN长度的最小值．解：(2)如图．∵AD＝4，AM＝3DM，∴AM＝3，DM＝1.延长AD，BC交于点E，当MN⊥BC时，MN的值最小，∵DC∥AB，∴△EDC∽△EAB，∴EDEA＝DCAB.∴EDED＋4＝26.∴ED＝2.∴ED＝DC＝2.∴△EDC是等腰直角三角形．∴∠E＝45°.∴△EMN是等腰直角三角形，∵EM＝3，∴MN＝32＝322.(3)10.提示：当MN⊥AD时，MN的长最小，∴MN∥DC∥AB，∴∠DCM＝∠CMN＝∠MNB＝∠NBH，设MN与BC相交于点G，∵ME∥BN，MC＝CE，∴CGBG＝12.∴G是BC上一定点．作NH⊥AB，交AB的延长线于H，∵∠D＝∠H＝90°，∴Rt△MDC∽Rt△NHB，即DCHB＝12.∴BH＝2DC＝4，∴AH＝AB＋BH＝6＋4＝10，∴当MN⊥AD时，MN的长最小，即为10.则线段MN长度的最小值为10.3．(2017·南阳新野县二模)(1)问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE.请填空：①∠ACE的度数为60°；②线段AC，CD，CE之间的数量关系为AC＝CD＋CE；(2)拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在边BC上，连接CE.请判断∠ACE的度数及线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝2，CD＝1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．图1图2图3解：(1)①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°.∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴∠ACE＝∠B＝60°.②线段AC，CD，CE之间的数量关系为：AC＝CD＋CE.理由是：由①得：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE.∵AC＝BC＝BD＋CD，∴AC＝CD＋CE.(2)∠ACE＝45°，2AC＝CD＋CE，理由如下：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°.∵BC＝CD＋BD，∴BC＝CD＋CE.∵在等腰直角三角形ABC中，BC＝2AC，∴2AC＝CD＋CE.(3)14＋22.提示：在CB的延长线上截取BF＝DC，易证△ABF≌△ADC.∴AF＝AC，∠FAB＝∠CAD.∴∠FAC＝∠FAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC＝90°.∴△ACF是等腰直角三角形，由(2)得2AC＝BC＋CD.∴AC＝BC＋CD2＝7＋12＝14＋22.4．(2017·周口市商水县二模)(1)探究发现下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：如图1，在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB＝150°.求证：AP2＋BP2＝CP2.证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．∴∠APP′＝60°，PA＝PP′，PC＝P′B．∵∠APB＝150°，∴∠BPP′＝90°，∴P′P2＋BP2＝P′B2，即PA2＋PB2＝PC2.(2)类比延伸如图2，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，内部有一点P，若∠APB＝135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明；(3)联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点P在直线AB上方，且∠APB＝60°，满足(kPA)2＋PB2＝PC2，请直接写出k的值．解：(2)关系式为：2PA2＋PB2＝PC2.证明：将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等腰直角三角形．∴∠APP′＝45°，PP′＝2PA，PC＝P′B，∵∠APB＝135°，∴∠BPP′＝90°.∴P′P2＋BP2＝P′B2.∴2PA2＋PB2＝PC2.(3)k＝3.提示：将△APC绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，可得∠APP′＝30°，PP′＝3PA，PC＝P′B.∵∠APB＝60°，∴∠BPP′＝90°.∴P′P2＋BP2＝P′B2.∴(3PA)2＋PB2＝PC2.∵(kPA)2＋PB2＝PC2，∴k＝3.5．(2017·濮阳模拟)已知，如图1，△ABC，△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B，E重合)，∠BAC＝∠AED＝90°，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.(1)问题发现①如图1，线段OF与EC的数量关系为OF＝22EC；②将△AED绕点A逆时针旋转45°，如图2，OF与EC的数量关系为OF＝22EC；(2)类比延伸将图1中△AED绕点A逆时针旋转到如图3所示的位置，请判断线段OF与EC的数量关系，并给出证明；(3)拓展探究将图1中△AED绕点A逆时针旋转，旋转角为α，0°≤α≤90°，AD＝2，△AED在旋转过程中，存在△ACD为直角三角形，请直接写出线段CD的长．解：(2)OF＝22EC.证明：在等腰直角△ADE中，F为AD的中点，∴AF＝12AD＝22AE.在等腰直角△ABC中，O为BC的中点，连接AO，∴AO