人教A版高中数学必修五第二章第2节《等差数列》(第2课时) (共29张PPT)

第二章数列等差数列（第二课时）等差数列的性质N（一）等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等差数等于同一个常数，那么这个数列就做列叫*1.()nnaadn温故知新（二）等差中项的概念由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，叫做与的等差中项.aAbAab（三）等差数列的通项公式推导方法：迭加法.推广的通项公式：.1(1)()nnmaandaanmd探究点一等差数列的常用性质问题设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有下列性质：(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(2)若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则am＋an＝2ak.请你给出证明．证明(1)∵am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d.∴am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d.同理，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，∵m＋n＝p＋q，∴am＋an＝ap＋aq.(2)∵am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d，2ak＝2[a1＋(k－1)d]＝2a1＋(2k－2)d，又m＋n＝2k，∴am＋an＝2ak.想一想若am＋an＝ap＋aq，则一定有m＋n＝p＋q吗？提示：不一定．若{an}是常数列，不一定有m＋n＝p＋q.【典型例题】例1在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．解方法一∵a1＋a4＋a7＝(a1＋a7)＋a4＝3a4＝39，∴a4＝13，∵a2＋a5＋a8＝(a2＋a8)＋a5＝3a5＝33.∴a5＝11，∴d＝a5－a4＝－2.∵a3＋a6＋a9＝(a3＋a9)＋a6＝2a6＋a6＝3a6＝3(a5＋d)＝3(11－2)＝27.方法二∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)＝3a1＋9d＝39，∴a1＋3d＝13，①∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝3a1＋12d＝33.∴a1＋4d＝11，②由①②联立a1＋3d＝13a1＋4d＝11，得d＝－2a1＝19.∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.小结解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．归纳小结⑵如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35解析：选C.∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，则a4＝4，又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.1．⑴等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于()A．3B．－3C.32D．－32AC跟踪训练（2）．已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝________.解析：a3＋a15＝a1＋a17＝a5＋a13，所以a9＝117.所以a3＋a15＝a9＋a9＝234.4．已知an为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.解析：∵等差数列an中，a3＋a8＝a6＋a5，∴a5＝(a3＋a8)－a6＝22－7＝15.2.（1）2.（2）跟踪训练3.(1)设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8；(2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求3a9－a13的值．解：(1)a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.(2)由a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100得a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.跟踪训练4.已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．解因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.跟踪训练探究已知等差数列{an}、{bn}分别是公差为d和d′，则由{an}及{bn}生成的“新数列”具有以下性质，请你补充完整．①{an}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列(首项不一定选a1)，公差为；②下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为的等差数列；③数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为的等差数列；④数列{an＋bn}仍是等差数列，公差为；⑤数列{λan＋μbn}(λ,μ是常数)仍是等差数列,公差为.2dmdλdd＋d′λd＋μd′合作探究例2三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．解方法一设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，依题意得，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.探究点二三项数列问题方法二设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意得，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.①若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，a＋d.②若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.③若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.名师点睛1．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴交点的个（）A．0B．1C．2D．1或2跟踪训练解析：由于2b＝a＋c，则4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，故选D.答案：D2．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．解：法一：设这三个数为a，b，c，则由题意，得2b＝a＋c，a＋b＋c＝18，a2＋b2＋c2＝116，abc，解得a＝4，b＝6，c＝8.∴这三个数分别是4,6,8.跟踪训练法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知得a－d＋a＋a＋d＝18，①a－d2＋a2＋a＋d2＝116，②由①得a＝6，代入②得d＝±2，∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去，∴这三个数分别为4,6,8.3四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两数的积为－8，求这四个数．解方法一设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.跟踪训练方法二设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，把a＝1－32d代入a(a＋3d)＝－8，得(1－32d)(1＋32d)＝－8，即1－94d2＝－8，化简得d2＝4，所以d＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，a＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.例3已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋ca，a＋cb，a＋bc也成等差数列．证明∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c，即2ac＝b(a＋c)．∵b＋ca＋a＋bc＝cb＋c＋aa＋bac＝c2＋a2＋ba＋cac＝a2＋c2＋2acac＝2a＋c2ba＋c＝2a＋cb.∴b＋ca，a＋cb，a＋bc成等差数列．小结一般地，一个数列至少有三项．若x，y，z成等差数列，则x＋z＝2y，反之亦然．此时，y就是x与z的等差中项．例题4.已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否能构成等差数列？证明∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b＝(a2b＋c2b)＋(a2c＋c2a)＝b(a2＋c2)＋ac(a＋c)＝b(a2＋c2)＋2abc＝b(a2＋c2＋2ac)＝b(a＋c)2＝b·(a＋c)·(a＋c)＝2·b2(a＋c)．∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)能构成等差数列．跟踪训练例5已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝2anan＋2.(1)数列{1an}是否为等差数列？说明理由．(2)求an.解(1)数列{1an}是等差数列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝2anan＋2，∴1an＋1＝an＋22an＝12＋1an，∴1an＋1－1an＝12，即{1an}是首项为1a1＝12，公差为d＝12的等差数列．(2)由上述可知1an＝1a1＋(n－1)d＝n2，∴an＝2n.小结判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an＋1－an＝d(d为常数)，也可以用an＋1－an＝an－an－1(n≥2)进行判断．本题属于“生成数列问题”，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式．名师点睛1.正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＋1＝an＋an.(1)数列{an}是否为等差数列？说明理由．(2)求an.解(1)∵an＋1－an＋1＝an＋an，∴an＋1－an＝an＋1＋an，∴(an＋1＋an)·(an＋1－an)＝an＋1＋an，∴an＋1－an＝1，∴{an}是等差数列，公差为1.(2)由(1)知{an}是等差数列，且d＝1，∴an＝a1＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝n2.跟踪训练1．判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看an＋1－an是否是一个与n无关的常数．2．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.3．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．课堂小结课后作业1.课本P40习题2.2A组第4，5，B组第2题2.配套练习