梁昆淼 数学物理方法第9章

第九章二阶常微分方程级数解法变换法本征值问题§9.2特殊函数常微分方程§9.1正交曲线坐标系§9.3常点邻域的级数解法§9.4正则奇点邻域上的级数解法§9.5施图姆—刘维本征值问题对于圆的Dirichlet问题，其边界条件0au)()(yYxXu若分离变量则但若选极坐标§9.1正交曲线坐标系022ayxXY边界条件分离不出来)()(Ru则0)()(aR边界条件能分离出来若以q1,q2,q3正交坐标，则它与直角坐标的相互关系为),,(321qqqxx如（1）、柱坐标1、正交曲线坐标系),,(321qqqyy),,(321qqqzz),,(11zyxqq),,(22zyxqq),,(33zyxqqcosxsinyzz22yxxyarctgzz),,(zxyz),,(zP（1）、柱坐标cosxsinyzz22yxxyarctgzz),,(zxyz),,(zP其中020z（2）、球坐标cossinrxsinsinrycosrz222zyxrzyxarctg22xyarctg),,(rxyz),,(rPr0020其中222222zuyuxuu（1）、柱坐标2、正交曲线坐标系中的u直角坐标系中yyuxxuucosxsinyzzsincosyuxu)(22uu)sincos(yuxu类似有)sincos(22yuxuuyyuxuyxyuxux)sincos()sincos(sin)sincos(cos)sincos(222222yuyxuyxuxu2222222sincossin2cosyuyxuxucossinyuxuu上面第一式两边除以2sincoscoscossin2sin222222222222yuxuyuyxuxuu222222222sincossin2cosyuyxuxuu)sincos(11222222222yuxuyuxuuu)sincos(11222222222yuxuyuxuuuuyuxu12222uzuyuxuzuuu112222222222222222222zuyuxuu在柱坐标系中222222211zuuuuu直角坐标系中222222zuyuxuu在柱坐标系中222222211zuuuuu直角坐标系中在极坐标系中2222211uuuu（2）、球坐标系中2222222sin1)(sinsin1)(1ururrurrru§9.2特殊函数常微分方程（1）、球坐标系（一）、Laplace方程u=02222222sin1)(sinsin1)(1ururrurrru首先试图将此变量变r与和分离),()(),,(YrRru代入0sin)(sinsin)(2222222YrRYrRdrdRrdrdrY令0sin)(sinsin)(2222222YrRYrRdrdRrdrdrY2222sin1)(sinsin1)(1YYYYdrdRrdrdR)1(sin1)(sinsin1)(12222llYYYYdrdRrdrdR化简为两个方程RlldrdRrdrd)1()(2YllYY)1(sin1)(sinsin1222两边除以R，Y，乘以r2上边第一式化为是欧拉型常数方程，令RlldrdRrdrd)1()(2YllYY)1(sin1)(sinsin12220)1(2222RlldrdRrdrRdrterdtdRedrdRt称为球函数方程terdtdRedrdRt222222dtRdedtdRedrRdtt0)1()(2)(22222RlldtdReedtRdedtdReettttt0)1(22RlldtdRdtRdRtlltDeCe)1()1(llDrCr0)1(2222RlldrdRrdrRdrYllYY)1(sin1)(sinsin1222称为球函数方程)1(llDrCrR令接着试图将变量和分离)()(),(Y代入)1(sin)(sinsin222lldddddd用2sin除以两边)1(sin)(sinsin222lldddddd用2sin除以两边222sin)1()(sinsin1lldddddd令222sin)1()(sinsin1lldddddd022dd0]sin)1([)(sinsin2lldddd令022dd0]sin)1([)(sinsin2lldddd2mmBmAsincos0]sin)1([)(sinsin122mlldddd令cosxddxdxddddxdsin0]sin)1([)(sinsin122mlldddd令cosxddxdxddddxdsinddxdddxddddd)(sinsin1)(sinsin1)sin)(sin(sin12dxddxd])1[(2dxdxdxd0]sin)1([)(sinsin122mlldddd令cosx])1[()(sinsin12dxdxdxddddd0]1)1([])1[(222xmlldxdxdxd该方程称为连带勒让德方程如m=00)1(])1[(2lldxdxdxd称为勒让德方程cosx0]1)1([])1[(222xmlldxdxdxd0222mddmBmAsincos0)1(2222RlldrdRrdrRdr)1(llDrCrR球坐标系)3,2,1,0(m连带勒让德方程（2）、柱坐标系试图将变量变与和z分离)()()(),,(zZRzu代入222222211zuuuuu012222222dzZdRddRZddRZdRdZu222222221dddzZdZddRRdRdR用2/RZ除以两边代入222222221dddzZdZddRRdRdR令022dd222222dzZdZddRRdRdR令2mmBmAsincos)3,2,1,0(m2222221111dzZdZmddRRdRdR用2除以两边代入令mBmAsincos)3,2,1,0(m2222221111dzZdZmddRRdRdR0)(12222RmddRdRd022ZdzZdDzCZ)0(zzDeCeZ)0(zDzCZsincos)0(mBmAsincos)3,2,1,0(m0)(12222RmddRdRdDzCZ)0(zzDeCeZ)0(zDzCZsincos)0(mmFERlnFER)00(m)00(m)0(x令ddxdxdRddRdxdR0)(12222RmddRdRdmmFERlnFER)00(m)00(m)0(x令ddxdxdRddRdxdR)(22dxdRdddRdddxdxdRdxd)(22dxRd0)1(12222RxmdxdRxdxRd即0)(22222RmxdxdRxdxRdx0)1(12222RxmdxdRxdxRd即)0(0)(12222RmddRdRdx称为贝塞尔方程0)(22222RmxdxdRxdxRdx0)1(12222RxmdxdRxdxRd即)0(x称为虚宗量贝塞尔方程0)(22222RmxdxdRxdxRdx)0(x0)(22222RmxdxdRxdxRdx)0(xmmFERlnFER)00(m)00(mmBmAsincos)3,2,1,0(mDzCZ)0(zzDeCeZ)0(zDzCZsincos)0(柱坐标系考虑三维波动方程（二）、波动方程首先试图将时间变量t与空间变量r)()(),(tTrvtru代入02uautt令0''2vTavT简化为令2kvvTaT2''vvTaT2''分解为vvTaT2''2k022TkaT02vkv第一个方程的解为DtCT)0(k)0(kkatDkatCTsincos称为亥姆霍兹方程02vkv考虑三维输运方程（三）、输运方程首先试图将时间变量t与空间变量r)()(),(tTrvtru代入02uaut令0'2vTavT简化为令2kvvTaT2'vvTaT2'分解为vvTaT2'2k0'22TkaT02vkv第一个方程的解为为亥姆霍兹方程tkaCeT2202vkv（1）、球坐标系（三）、亥姆霍兹方程0sin1)(sinsin1)(122222222vkvrvrrvrrr首先试图将此变量变r与和分离),()(),,(YrRru代入0sin)(sinsin)(22222222RYkYrRYrRdrdRrdrdrY两边除以R，Y，乘以r2令222222sin1)(sinsin1)(1YYYYrkdrdRrdrdR)1(sin1)(sinsin1)(1222222llYYYYrkdrdRrdrdR化简为两个方程RllRrkdrdRrdrd)1()(222YllYY)1(sin1)(sinsin12220sin)(sinsin)(22222222RYkYrRYrRdrdRrdrdrY上边第一式化为这称为l阶球贝塞尔方程RllR