第三章 力矩理论与 力偶理论(同济)

静力学第三章力矩理论与力偶理论§3-1力矩理论一、力对点的矩1、平面+_0:矩心，d：力臂M0(F)=±Fd单位：kN·m一般情况，作用在物体上质心以外点的力将使物体产生移动，同时也能使物体产生相对于质心的转动。0dAF平面问题中,力对点的矩是代数量。2、空间FrFM)(0,kzjyixr,kFjFiFFzyxzyxzyxFFFzyxFFFzyxFkjikjikjiM)()()(oi)zFyF(yzj)xFzF(zxk)yFxF(xyr为力F的矢径。空间问题中,力对点的矩是矢量。力F对o点的矩等于力作用点A对o点的矢径r与该力F的矢量积。x、y、z为力作用点的坐标Fx、Fy、Fz为力的投影)()()(okjikjiMzyxFFFzyxFi)zFyF(yzj)xFzF(zxk)yFxF(xy1）其大小；OABOAdFFM2)(Fr2）方向按右手法则（）确定；3）作用在点O。对于平面力系问题，取各力所在平面为Oxy平面，则任一力的作用点坐标z=0，任一力在z轴上的投影Fz=0，即kyFxFkFFyxFMxyyxO)()(垂直于r与F组成的平面OAB)力对轴的矩——力使物体绕轴转动的效应的度量当力F与轴共面时，力对轴之矩为零。二、力对轴的矩力对轴的矩定义为：力F对于z轴的矩等于该力在垂直z轴的平面上的投影对于z轴与此平面交点的矩。xyzdFM正负号采用右手法则。的面积''2)()(BOAdFFmFmxyxyOz定义：)()()()(xyOxyzzzzFmFmFmFm力F对轴的矩它是代数量正负号采用右手法则。力对于该矩的矩等于零：①力与矩轴平行；②力与矩轴相交。zoFxyFzFxydFzxyzxyFzFFyFxMx=(yFz-zFy)，Mz=(xFy-yFx)My=(zFx-xFz)，力对x、y、z轴之矩三、力对点的矩与对轴的矩的关系力对于z轴的矩等于该力在垂直于z轴的平面上的投影对于z轴与此平面交点的矩。Mz(F)=M0(F)cosg力对轴之矩等于力对该轴上任意点之矩在该轴上的投影。BAOxyxyzzAdFFMFM2)()()()(cos,)()(cos,)()(cosFMFMFMFMFMFMOzOyOxg222))(())(())(()(FMFMFMFMzyxO力对点的矩可利用上式通过计算力对过该点的三个坐标轴之矩来计算。)()(yzxzFyFFM)()(zxyxFzFFM)()(xyzyFxFFM大小方向kFMjFMiFMFrFMzOyOxOO)]([)]([)]([)(kFMjFMiFMzyx)()()(力对点O的矩可写成[例]已知:P=2000N,C点在Oxy平面内。求：力P在三个坐标轴上的投影及力P对三个坐标轴之矩.60cos45cos60sin45cos45cos45sinPPPPPPPPyxxyz解：P力的投影0,6,5zcmycmxC点坐标：)(2.3860cos45cos560sin45cos60)5(6)()()()(mNPPPPPMPMPMPMyxzzyzxzz)mN(8.8445sin6600)()()()(PPPMPMPMPMzzxyxxxx)(7.7045sin5500)()()()(mNPPPMPMPMPMzzyyyxyy求力对三个坐标轴之矩：0,6,5zcmycmx解法二P力作用点的矢径,kzjyixr45sin,60cos45cos,60sin45cosPPPPPPzyxP力的投影0,6,5zcmycmx)mN(2.3860sin45cos660cos45cos56)5()(PPPPyPxPPMxyxyz力对三轴之矩：)mN(8.8445sin6)(PzPyPPMyzx)mN(7.7045sin5)(PxPzPPMzxy力对三轴之矩：0,6,5zcmycmx四、汇交力系的合力矩定理My=Miy，Mz=Miz，Mx=M1x+M2x+M3x=Mix，合力对点(或轴)之矩等于各分力对同点(或同轴)之矩的矢量和(代数和)。kMjMiMMzyx02121)()(FrFrFFrFrFMRRO)()()()(21iOOOROFMFMFMFM2F1FOyzxRFArniiRFrFr1在任一轴上的投影也成立例3-1：拖拉机摇手柄OAB在oxz平面内，在A处作用一个力F,已知：F=50N,0A=20cm,AB=18cm,a=450,b=600,求对各轴之矩。解:Fx=Fcoscos=17.7NFy=Fcossin=17.7NFz=Fsin=43.3NMx=18·43.3-20·17.7=426N·mMy=20·17.7=354N·mMz=–18·17.7=-318N·mMx=(yFz-zFy)Mz=(xFy-yFx)My=(zFx-xFz)B点坐标：x=0,y=180mm,z=200mm.xyzF0ABz=200mmy=180mmFyFxFxyFz§3-2力偶的概念1、平面力偶F’F一、力偶与力偶矩大小相等、方向相反、作用线相互平行的两个力所组成的力系称为力偶。1、平面力偶M=±Fd(Nm)FF’FF’+_力偶作用平面d：力偶臂rBAFFdBA2、空间力偶'FrMFrMABBBAA右手法则为正力偶的矢量表示ABFF’BArM力偶矩矢量垂直于力偶所在平面,其大小和方向与取矩点无关.FF')'()(FMFMMOOO'FrFrBA)(FrFrBAFrr)(BAFrBAFdM力偶矩矢量垂直于力偶所在的平面,其大小和方向与取矩点无关.性质一：力偶没有合力。性质二：力偶对空间任意点之矩都等于其本身的力偶矩矢。OFABF’rArBBArdF力偶的性质：（组成力偶的两个力矢量之和等于零）1).任意搬动(水平、垂直)F’FM2).可同时改变力的大小和力偶臂的长短5105=10大小、转向相同力偶矩矢相等的两力偶等效二、力偶的等效条件ABrBAF1F1’M1DrCDF2F2’M2C11FrMBA22FrMCD2211FrMMFrCDBA（对刚体的作用效应完全决定于力偶矩矢量）推论一力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平面),而不改变对刚体的作用效应。力偶性质的两个推论FFxxFFaaaABFaaaABFFFFFa推论二只要力偶矩矢保持不变，可同时改变力偶力的大小和力偶臂的长短。;111dFm222dFmdPm11又dPm22'21PPRA2'1PPRB21'21'21)(mmdPdPdPPdRMA合力矩平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系。设有两个力偶:dd1、平面力偶系的合成三、力偶系的合成与平衡平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。imM即：设作用于刚体上的两个力偶21,MM结论：两个力偶矢量可合成为一个合力偶矢，其矩矢等于原来两个力偶的矢量和。2、空间力偶系的合成21FFF'''FFF21},{'111FFM},{'222FFM}{'RF,FMrFrMR)(21FFr21FrFr21MMFF1F'F11M2F'F22MniiRMM1222222)()()(iziyixzyxRMMMMMMMkMjMiMiziyix空间力偶系合成的结果是一个合力偶，该合力偶矩等于所有分力偶矩的矢量和。合力偶的大小合力偶的方向余弦RzRyRxMMMMMMgcos,cos,cos对于平面力偶系，各力偶矩矢量成为共线矢量，其指向均垂直于力偶平面，代数式为inMMMMM212、力偶系的平衡平衡的充分必要条件:合力偶矩矢等于零，或力偶系中分力偶矩矢的矢量和等于零。空间力偶系的平衡条件：平面力偶系的平衡条件：0iM021inMMMMM000iziyixMMM}021inMMMMM力偶系中所有各力偶矩矢在直角坐标轴中每一轴上投影的代数和等于零。几何条件是：各分力偶矩矢所组成的矢量多边形自行封闭。ABMOABMO（A）（B）例：结构如图所示，已知主动力偶M，哪种情况铰链的约束力小,并确定约束力的方向（不计构件自重）1、研究OA杆FF2、研究AB杆FF例3-2：直角三棱柱上有作用力：F1=200N,F2=F’2=100N，求：所有力对各轴投影值与力矩值。M274.28N2922000.40.30.20.22221xFF解：空间力偶矢M2=F2·0.2=100NN56.1482941yFFN41.1112931zFFm;34.28N53)()(2zxyMxFzFFMm-44.56N)()(yzxzFyFFMm;16N54)()(2xyzMyFxFFMx=0y=0z=0.3m例3-3：三叉杆件上作用已知力偶M1=5N·m，为平衡杆件在杆上作用约束力偶M2、M3，求：约束力偶值。解:因力偶在0yz平面Mx0M2M3My=0,M1+M3sin300=0M3=–10N·m,Mz=0,M2+M3cos300=0mN352M300M1zyO例3-4：工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。解：将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。mN1.19345cosM45cosMMM543x可得mN6.2842z2y2xMMMM所以合力偶矩矢的大小合力偶矩矢的方向余弦6786.0cos2811.0,cos6786.0,coskMjMiM,mN80MM2ymN1.19345cosM45cosMMM541z例3-5：图示导轨式汽车提升机构（重量不计），已知提升的汽车为P=20kN，求：导轨对A、B轮的约束反力。Mi=0;FA·400–P·60=0；得：FA=3kNX=0;FB=FAY=0;F=PPFFBFAP60cm400cmFAB力偶仅能被力偶平衡解:绘受力图例3-6：图示杆BC上固定销子可在杆AB的光滑直槽中滑动，已知：L=0.2m，M1=200N·m，300，求：平衡时M2。解：[BC]:MiB=0,FCLsin300–M1=0,得:FC=FB=2000NM1BADLCM2FCFC’FA[BC]A[AD]M2DM1BCFBLsin300再取[AD]:MiA=0,M2–FC’L/sin300=0,FC=F’C得：M2=800N·m。L/sin300本章结束