2013年广东中考数学卷和答案详解

2013年广东省中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）2的相反数是（）A．B．C．﹣2D．22．（3分）下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（）A．B．C．D．3．（3分）据报道，2013年第一季度，广东省实现地区生产总值约1260000000000元，用科学记数法表示为（）A．0.126×1012元B．1.26×1012元C．1.26×1011元D．12.6×1011元4．（3分）已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是（）A．a﹣5＜b﹣5B．2+a＜2+bC．D．3a＞3b5．（3分）数字1、2、5、3、5、3、3的中位数是（）A．1B．2C．3D．56．（3分）如图，AC∥DF，AB∥EF，点D、E分别在AB、AC上，若∠2=50°，则∠1的大小是（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．（3分）下列等式正确的是（）A．（﹣1）﹣3=1B．（﹣4）0=1C．（﹣2）2×（﹣2）3=﹣26D．（﹣5）4÷（﹣5）2=﹣528．（3分）不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）（2013•广东）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．10．（3分）已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x﹣1和y=的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上.11．（4分）分解因式：x2﹣9=_________．12．（4分）若实数a、b满足|a+2|，则=_________．13．（4分）一个六边形的内角和是_________．14．（4分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=_________．15．（4分）如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是_________．16．（4分）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是_________（结果保留π）．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分）17．（5分）解方程组．18．（5分）从三个代数式：①a2﹣2ab+b2，②3a﹣3b，③a2﹣b2中任意选两个代数式构造分式，然后进行化简，并求出当a=6，b=3时该分式的值．19．（5分）如图，已知▱ABCD．（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证：△AFD≌△EFC．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）20．（8分）某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如图和所示的不完整统计图表．（1）请你补全下列样本人数分布表和条形统计图（如图）；（2）若七年级学生总人数为920人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数．样本人数分布表类别人数百分比排球36%乒乓球1428%羽毛球15篮球20%足球816%合计100%21．（8分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？22．（8分）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1_________S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．四、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．24．（9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．25．（9分）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=_________度；（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．11．（4分）（2013•平凉）分解因式：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）12．（4分）（2013•广东）若实数a、b满足|a+2|，则=1．13．（4分）（2013•广东）一个六边形的内角和是720°．解答：解：由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°．故答案为：720°．14．（4分）（2013•广东）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC==5（勾股定理）．∴sinA==．故答案是：．15．（4分）（2013•广东）如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是平行四边形．解答：解：四边形ACE′E的形状是平行四边形；∵DE是△ABC的中线，∴DE∥AC，DE=AC，∵将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，∴DE=DE′，∴EE′=2DE=AC，∴四边形ACE′E的形状是平行四边形，16．（4分）（2013•广东）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．解答：解：根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，∴阴影部分的面积应为：S==．故答案是：．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分）17．（5分）（2013•广东）解方程组．解答：则方程组的解为．18．（5分）（2013•广东）从三个代数式：①a2﹣2ab+b2，②3a﹣3b，③a2﹣b2中任意选两个代数式构造分式，然后进行化简，并求出当a=6，b=3时该分式的值．解答：解：选②与③构造出分式，，原式==，当a=6，b=3时，原式==．19．（5分）（2013•广东）如图，已知▱ABCD．（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证：△AFD≌△EFC．解答：（1）解：如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠CEF，∵在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）20．（8分）（2013•广东）某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如图和所示的不完整统计图表．（1）请你补全下列样本人数分布表和条形统计图（如图）；（2）若七年级学生总人数为920人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数．样本人数分布表类别人数百分比排球36%乒乓球1428%羽毛球15篮球20%足球816%合计100%解答：解：（1）3÷6%=50人，则篮球的人数为50×20%=10人，则补全条形统计图如下：羽毛球占总数的百分比为：15÷50=30%，补全人数分布表为：类别人数百分比排球36%乒乓球1428%羽毛球1530%篮球1020%足球816%合计50100%（2）920×30%=276人．则七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数为276人．21．（8分）（2013•广东）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？解答：解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，10000×（1+x）2=12100，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）；答：捐款增长率为10%．（2）12100×（1+10%）=13310元．答：第四天该单位能收到13310元捐款．22．（8分）（2013•广东）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1=S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．解答：（1）解：∵S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，∴S1=S矩形BDEF，∴S2+S3=S矩形BDEF，∴S1=S2+S3．（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．证明△BCD∽△DEC；证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EDC=∠CBD，又∵∠BCD=∠DEC=90°，∴△BCD∽△DEC．四、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）（2013•广东）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．解答：解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），∴代入二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1，得出：m2﹣1=0，解得：m=±1，∴二次函数的解析式为：y=x2﹣2x或y=x2+2x；（2）∵m=2，∴二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1得：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点为：D（2，﹣1），当x=0时，y=3，∴C点坐标为：（0，3）；（3）当P、C、D共线时PC+PD最短，过点D作DE⊥y轴于点E，∵PO∥DE，∴=，∴=，解得：PO=，∴PC+PD最短时，P点的坐标为：（，0）P．24．（9分）（2013•广东）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．解答：（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），∴∠BCA=∠BAD．（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90