3.7 正弦定理、余弦定理应用举例

1第7讲正弦定理、余弦定理应用举例第1课时2教学目标考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．重点、难点1．本讲联系生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法．2．加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力.31．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．基础梳理2.应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)一般步骤:①分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;4③求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解;④检验:检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解.(2)基本思路示意图:52．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图(1))．上方下方6(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．7一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．8两种情形解三角形应用题常有以下两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．9【例1】如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．[审题视点]在△BCD中，求出BC，在△ABC中，求出AB.考向一测量距离问题10解在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝asin105°sin45°＝3＋12a.②在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos30°＝22a.11(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．121.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A、B两点的距离为()A.502mB.503m25C.252mD.2m2A13解析:由题意知∠CBA=30°,由正弦定理得=sinsinACABCBAACB250sin2AB5021sin2ACACBCBA142.如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．15解在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1km.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，所以AB＝ACsin60°sin15°＝32＋620(km)，同理，BD＝32＋620(km).故B、D的距离约为32＋620(km).163.如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+ )海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20 海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?3317∠DBA=90°－60°=30°,∠DAB=90°－45°=45°,∴∠ADB=180°－(45°+30°)=105°.在△DAB中,由正弦定理得解:由题意知AB=5(3+ )海里,31819求距离问题要注意:(1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.20【例2】►如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20m，求山高CD.[审题视点]过点C作CE∥DB，延长BA交CE于点E，在△AEC中建立关系．考向二测量高度问题21解如图，设CD＝xm，则AE＝x－20m，tan60°＝CDBD，∴BD＝CDtan60°＝x3＝33x(m)．在△AEC中，x－20＝33x，解得x＝10(3＋3)m．故山高CD为10(3＋3)m.22(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．231.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.24解在△BCD中，∠CBD＝π－α－β，由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝s·sinβsinα＋β在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝stanθsinβsinα＋β.252.某人在塔AB的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40米后到达D处,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为30°,求塔高.解:在△BCD中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°,由正弦定理得=sinsinCDBDDBCBCD2627在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.小结：28第7讲正弦定理、余弦定理应用举例第2课时29教学目标考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．重点、难点1．本讲联系生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法．2．加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力.30基础梳理2.应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)一般步骤:①分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;③求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解;④检验:检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解.31(2)基本思路示意图:32例3(2010江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度，若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α－β最大？考向三测量角度问题33【解析】(1)由AB＝Htanα，BD＝htanβ，AD＝Htanβ及AB＋BD＝AD，得Htanα＋htanβ＝Htanβ，解得H＝htanαtanα－tanβ＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，算出的电视塔的高度H为124m.34(2)由题设知d＝AB，得tanα＝Hd.由AB＝AD－BD＝Htanβ－htanβ，得tanβ＝H－hd，所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝hd＋HH－hd≤h2HH－h，当且仅当d＝HH－hd，即d＝HH－h＝125×125－4＝555时，上式取等号．所以当d＝555时，tan(α－β)最大．因为0βαπ2，则0α－βπ2.所以当d＝555时，α－β最大．故所求的d是555m.35如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 ()A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°B36解析:由已知∠ACB=180°-40°-60°=80°,又∵AC=BC,∴∠A=∠ABC=50°,60°-50°=10°.∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.37【命题立意】本题主要考查解三角形、基本不等式、三角形的实际应用等知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力．38首先应明确方位角的含义,在解应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步,通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.39【例4】►如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．[审题视点]由于AB＝5，∠ADB＝45°，因此要求BD，可在△ABD中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD的正弦值．在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠ACB＝30°，因此可用正弦定理求出sin∠ABC，再依据∠ABC与∠BAD互补确定sin∠BAD即可．考向四正、余弦定理在平面几何中的综合应用40解在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝ACsin∠ABC，sin∠ABC＝AC·sin∠BCAAB＝9sin30°5＝910.∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝910.同理，在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝910，∠ADB＝45°，由正弦定理：ABsin∠BDA＝BDsin∠BAD，解得BD＝922.故BD的长为922.41要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．42【训练3】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．解在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝60°.43在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝AD·sin∠ADBsinB＝10sin60°sin45°＝10×3222＝56.44【问题研究】1解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模准确地画出图形——求解——检验作答.2三角形应用题常见的类型：①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在