第二讲 初等变换及其应用(一)

第二讲初等变换及其应用（一）一、初等变换及记号二、行列式性质及计算（化三角形方法）三、矩阵化简的三种形式（行阶梯形、行最简形、等价标准形）四、矩阵逆、秩、秩子式的计算五、矩阵秩的性质及矩阵等式证明的满秩方法初等变换是线性代数中解计算题型的基本方法.这一讲和下一讲专门讲初等变换方法解题.一、初等变换及记号初等变换作用在行列式上和矩阵上分行初等变换和列初等变换，变换的方法和记号如下：①换行：第i行与第j行交换，记作ijrr，换列：第i列与第j列交换，记作ijcc；②倍行：第i行k倍，记作ikr，倍列：第i列k倍，记作ikc；③倍行加：第j行l倍加到第i行上去，记作ijrlr.倍列加：第j列l倍加到第i列上去，记作ijclc.注：①第3种初等变换的记号有的书规定写成jilrr，jilcc，但规定后就不能变，只能用一种；②,kl为1时，可以直接写成,,,ijijjircrrcc；③10,lll时，1ijrlr可看成第i行减去第j行的1l倍，1jiclc可看成第j列减去第i列的1l倍；④1l时，ijjirrrr，jiijcccc规定：①每次变形对每个元素至多只能改变一次；②每次变形所做的多个初等变换按从上往下的次序.将“行”字改成“方程”，就是方程组的初等变换。初等变换作用在行列式上，就是行列式的初等变换。初等变换作用在矩阵上，就是矩阵的初等变换。习题1写出下列初等变换的记号（1）12412401201234501017；（2）214102021323；（3）224517544544517224；（4）254254247013054054.二、行列式性质及计算（化三角形方法）行列式概念定义1由2n个数(1,2,,;1,2,,)ijainjn排成n行n列的如下记号111212122212nnnnnnaaaaaaaaa，称为n阶行列式（其中ija表示第i行第j列位置的数，称为第i行第j列元素），它表示所有取值不同行、不同列的n个数的乘积并按照如下方法带上正号或负号的代数和：每项乘积中的n个数按行号排成标准排列时，其列号排列的奇偶性决定该项的符号：奇排列时为负号，偶排列时为正号，即1212121112121222()1212(1)nnnnnNjjjjjnjjjjnnnnaaaaaaaaaaaa，（1.3）其中求和12njjj取遍所有n级排列12njjj.而1212()12(1)nnNjjjjjnjaaa称为行列式的一般项.特别地，当1n时，规定一阶行列式1111aa.行列式有时也简记作ija，其值是一个数.行列式性质性质1将行列式转置，行列式的值不变.性质2行列式的初等变换性质：①换行，值反号；②倍行，倍值；③倍行加，值不变.性质3提取一行公因子，即可以把行列式中某一行所有元素的公因子提取出来放到行列式外面作为因子.性质4具有如下特征之一的行列式，其值为0.①有一行元素全为0；②有两行元素对应相等；③有两行元素对应成比例.性质5拆行拆值，即把一个行列式的某一行拆开成两行所得到的两个行列式的值之和就等于原行列式的值.行列式中元素的余子式和代数余子式的概念.定义2在n阶行列式ija中，划去元素ija所在的第i行和第j列后，余下的元素按原来的相对位置排成的1n阶行列式称为ija的余子式，记作ijM，称ijA为ija的代数余子式，其中(1)ijijijAM.例如，4阶行列式14569224158745203x中，2314ax的余子式和代数余子式分别为2356256256258402202250523041005M，232323562(1)58450523AM.行列式展开性质定理1n阶行列式ijDa等于任一行的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122,1,2,,iiiiininDaAaAaAin推论1行列式ijDa中，任一行的数字与另一行中同列数字代数余子式的乘积之和等于0，即11220,()ijijinjnaAaAaAij.有时，我们把定理1简称为“同行展开等于行列式本身”，而把推论1简称为“异行展开等于0”.定义3在n阶行列式ijDa中，任取k行k列(1)kn，位于这些行、列交叉处的2k个数字按原来在D中的相对位置排成的k阶行列式M，称为D的一个k阶子式.划去M所在的行和列，余下的数字按原来的相对位置排成的nk阶行列式并带上符号11(1)kkiijj，称为M的代数余子式，其中1kii是M所在的行号，1kjj是M所在的列号.定理2（拉普拉斯（Laplace）展开定理）在n阶行列式ijDa中，任取k行(1)kn后，所有位于这k行的k阶子式与其代数余子式乘积之和等于D.计算行列式的化三角形方法首先，若第1个对角元11a及其下方（即第1列）的数字都等于0,则行列式等于0，否则，经过行初等变换把11a化成非零，并把其下方的1ia都化成0,2,3,,in；其次，再考虑第2个对角元，若第2个对角元22a及其下方的数字都等于0，则行列式的值也等于0.否则，经过初等行变换把22a化成非零，并把其下方的2ia都化成0,3,,in；接着再考虑第3个对角元；；这样，逐步将每个对角元下方都化成了0，行列式就化成了三角形了.如果在某步，对角元及其下方都为0，则行列式等于0，否则，化成了三角形行列式，由此可计算出原行列式的值.例1计算行列式2114434221350387解利用初等变换化成三角形行列式：原式2114012600210387第1行（-2）倍加到第2行第1行（-1）倍加到第3行化112a下方为02114012600210=0225第2行（-3）倍加到第4行化221a下方为02114012600210=第3行（-1）倍加到第4行0024化332a下方为0=21224=96.例2计算行列式0123341223411234D解141234341223410123rrD（化11a为非零）21311234(3)02810(2)01270123rrrr（化11a下方为零）4221234300(1)0234r12-1r048r044rrr（化22a下方为零）312340000412-1r0480-4r（化33a下方为零）11(4)(4)16.例3计算行列式2324462123142345D解2121212324200272003820021rrrrrrD（化11a下方为0，这时22a及其下方都为0了）0行列式展开方法应用例4用行列式展开方法计算行列式3260001051434020D解2331320201(1)5134(1)462413400D.例5对于行列式3245143312112033计算余子式的线性组合212223242433MMMM.解2122232421222324324524332433243312112033MMMMAAAA243245040012112033rr223454(1)111233100141112,3233jrrj（注意这里变换的写法，第1行变了两次）131141(1)4(32)423高阶行列式计算中应用初等变换的思考途径例6计算n阶行列式xaaaxDaaax解这个行列式的各行（列）元素之和相等，将它们加到一起，再相减就可以化出0.1(1)(1)(1)2,3,,(1)jxnaaaaxnaxaaccxnaajnDaxnaaax1(1)2,3,,ixnaaaxarrinaxa1(1)()nxnaxa这个高阶行列式计算中应用了初等变换的第一个思考途径：同一位置.例7计算范德蒙（Vandermonde）行列式（n2）123122222123111111123111111nnnnnnnnnnnnxxxxxDxxxxxxxxxx解在nD中，从第n行开始，下一行减去上一行的nx倍（即上一行的（nx）倍加到下一行），得123111223311222211223311111110()()()()0()()()()0nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxDxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx按第n列展开，并把每列的公因子()jnxx提出，得123112222123112312222123111111(1)()()()()nnnnnnnnnnnnnnxxxxDxxxxxxxxxxxxxxxx12311()()()()nnnnnnxxxxxxxxD注意1nD比nD中少了nx，因此2211211Dxxxx就可以递推得到123111121312211()()()()()()()()()()nnnnnnnnnnnijjinDxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx这里的记号表示全体同类因子的乘积.上述范德蒙行列式的计算中，我们利用了初等变换的第二个思考途径：相邻位置.习题21.按行列式定义计算下列行列式（1）1230210011230400D；（2）2011001020311132D，（3）计算n阶行列式xaxDax.2.设1112132122233132331aaaDaaaaaa，利用行列式性质计算1111121312121222331313233423423423aaaaDaaaaaaaa.3.利用行列式性质计算行列式2324323631063abcdaababcabcdDaababcabcdaababcabcd.4.利用行列式性质证明33()axbyaybzazbxxyzaybzazbxaxbyabyzxazbxaxbyaybzzxy.5.用化三角形方法计算下列行列式（1）2605232112131412；（2）3111131112111113；（3）3112513420111533.6.用行列式展开方法计算行列式3112513420111533D.7.对于行列式3521110513132413，求余子式和代数余子式的下列线性组合（1）11213141MMMM；（2）11121314AAAA.8.对于行列式123123123123aaapbbbpcccpdddp，计算代数余子式的线性组合11213141AAAA.9.计算行列式8151930652120476中的余子式和代数余子式的下列线性组合：（1）313234522AAA，（2）12223242MMMM.10.用行列式展开方法计算2n阶行列式ababDcdcd.11.设231111130()1901270xfxxx，求方程()0fx的根.三、矩阵化简的三种形式（行阶梯形、行最简形、等价标准形）行阶梯形矩阵特点可画一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，阶梯线的竖线（每段竖线对应一个台阶）后面的第一个元素为非零元（叫做非零首元）求法在A中先找到第1个非零列，经过行初等变换，将其上方元素（非零首元位置）化成非零元，而下方所有元素都化成0，除去这个非零首元所在位置前面所有列和上面所有行外，在剩下的子块中，再找到第1个非零列，经过行初等变换，将其上方元素（非