变化率与导数(公开课)

变化率与导数T(月)W(kg)639123.56.58.611引例1：某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示。知识运用从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化率：)月/(1035.35.6kg从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化率：)/(4.06126.811月kg0kAB=kCD=ABCDT(月)W(kg)639125065800)月/(5038065kg)月/(353126550kg引例2：下图为王女士一年内的减肥曲线，请你分别计算出减肥期间前三个月及后面九个月体重的平均变化率，并解释你的计算结果。前三个月：后九个月课堂小结平均变化率曲线陡峭数形变量变化的快慢平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．平均变化率一般地，函数从x1到x2的平均变化率为)(xf1212)()(xxxfxf211121()()()()fxfxfxxfxxxx已知函数，分别计算下列区间上的平均变化率：2)(xxf)(xf（1）[1，2]（2）[1，1+Δx]解：(2)△y=(1+△x)2-12=2△x+△x2所以平均变化率为xxy2在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系105.69.4)(2ttth如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,);m/s(05.405.0)0()5.0(hhv);m/s(2.812)1()2(hhvhto0.66探究:高台跳水问题2在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系105.69.4)(2ttthv探究:高台跳水问题hto0.66探究：如何求t=2时的瞬时速度？探究：思考：1、在t=2附近的平均速度与t=2瞬时速度之间的关系？（以高台跳水为例）t=2瞬时速度就是t=2附近的平均速度当Δt趋于0的极限！2、在某一时刻的瞬时速度怎样表示？0ttthttht)()(000limxxfxxfxyxx0000limlim一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数0xxy记作：或0xfxxfxxfxyxfxx00000limlim即导数的概念由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:);()()1(00xfxxfy求函数的增量;)()()2(00xxfxxfxy求平均变化率.lim)()3(00xyxfx取极限，得导数一差、二比、三极限练习：若f(x)=x2,求f’(1)例、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为f(x)=x2-7x+15(0x8h).计算第2h和第6h时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们的意义。解：第2h和第6h时，原油温度的瞬进变化率就是f'(2)和f'(6)根据导数定义：xxxx742xxx)15272(15)2(7)2(223x3)3(limlim)2(00xxffxx所以，同理可得f'(6)=5f(x)=x2-7x+15xfxfx)2()2(y3)2(ff'(6)=5说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速度上升；说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速度下降；yxo)(xfyP相交再来一次导数的几何意义：注意：1、函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0可正、可负，但不为0，而△y可能为0。3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0及其附近的函数值有关，与△x无关。1,函数f(x)=x2在点(2,4)处的切线的斜率为()A.f(2)B.f(4)C.f’(2)D.f’(4)2.如图,试描述函数f(x)在x=-5,-4,-2,0,1附近的变化情况:3.根据下列条件，分别画出函数图象在这点附近的大致形状:(1)f(1)=-5,f’(1)=-1(2)f(5)=10,f’(5)=15(3)f(10)=20,f’(10)=04.如右图所示，向高为10cm的杯子等速注水，3分钟注满。若水深h是关于注水时间t的函数，则下面两个图象哪一个可以表示上述函数？开始时，h变化得快，后来h变化得慢。Ot/mh/cmA1310Ot/mh/cmB1031MNMN例2.请分别计算出下面两个图象表示的函数h(t)在区间[0，3]上的平均变化率。OthAOthB13101031观察这三个数据你有什么发现？OthC1031310310310