数学物理方程

0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1Email:[e-mail]数理方程与特殊函数任课教师：杨春数学科学学院0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n2本次课主要内容(一)、平面狄氏问题解的积分公式平面狄氏解、格林函数与三维格林函数求法(三)、球域、上半空间上的狄氏格林函数(二)、平面狄氏问题格林函数0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n3(一)、平面狄氏问题解的积分公式平面泊松方程狄氏问题为：(,),(,)(,)(xxyyLLuuufxyxyDuxy连续）求解方法：借助于第三、第二格林公式求解。平面第三格林公式为：00001111()lnln2211ln*2MMMMLMMDuuMudSnrnrudr0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n4由第二格林公式：0**LDvuuvdSvudnn设v(x,y)是调和函数，则对于u(x,y)与v(x,y)来说，LDuvvudSvuuvdxdynn于是得：将*的右端与**的左端相减可得如下等式：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n50001111()lnln2211ln***2MMMMLDuuMvuvdSnrnrvudr在***中，令：0011(,)ln(,)2MMGMMvxyr当G(M,M0)满足0000(,)(),(,)0LLGMMMMMMDGMM0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n6时，得平面泊松方程狄氏问题的解的积分表达式，即：定理：平面泊松方程狄氏问题的解为：0()(,)LDGuMdSGfxydn推论：平面拉氏方程狄氏解为：0()LGuMdSn0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n7定义：若G(M,M0)满足：0000(,)(),(,)0LLGMMMMMMDGMM则称G(M,M0)为定义在DS上的平面狄氏格林函数。物理意义：首先，对于方程ΔG(M,M0)=-δ(M-M0)来说，其物理意义是：平面中M0点处有一电量为ε(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0),其大小为G(M,M0)=-1/2πlnr；(二)、平面狄氏格林函数的定义与性质其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电圈内M0处有正点电荷ε和它在边界上产生的感应电荷在圈内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为G(M,M0)=-1/2πlnr-v(x,y)。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n8性质1：平面狄氏格林函数的性质其中：0011(,)ln()2MMGMMvMr02200()(),0MMrxxyyv性质2Green函数具有对称性，即：);();(1221MMGMMG0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n9狄氏问题解的积分表达式总结1、三维情形：000(,)()(,)SVGMMuMdSGMMfdVn(),()SSufMMVuM积分表达式为：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n102、二维情形：(),()LLufMMVuM积分表达式为：0()(,)LDGuMdSGfxydn0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n11三维空间中特殊区域上狄氏格林函数的求法方法：镜像法求三维空间中区域VS上狄氏格林函数,可考虑一接地导体壳S，在VS内M0处放置电量为ε0的正点电荷，由格林函数物理意义：G(M,M0)等于V内电荷ε0与感应电荷在M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求：在V外找一个M0关于S的像点，在该点放置一负电荷，使它与ε0在S上产生的电势叠加为零，则它们在M处的电势叠加等于G(M,M0).(1)、球形域内狄氏问题格林函数00222200(,)()(,)(,)0SGMMMMxyzRMVGMM(三)、球域、上半空间上的狄氏格林函数0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n12分析：问题等价于接地球内M0处电量为ε0的正点电荷及其感应电荷在M处产生的电势。由镜像法：可设想在OM0的延长线上M1处，求一电量为-q的点电荷，使ε0与-q在S上的电势叠加为0，则它们在M处的电势叠加就为格林函数G(M,M0)00110,,,(,)OMrOMrOMrOMOMM0MM1xyzO0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1300000111(,)44qGMMrrrr即：且满足：0(,)0SGMM于是得：00111144sSqrrrrM0MM1xyzO0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n14所以：222222011002cos2cosrRrRqrRrRM0MM1xyzO0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n150所以：有：2222220110022rRrRqrRrR2222222010rRqrR于是有：210Rrr00Rqr所以，所求格林函数为：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1600011111(,)44RGMMrrrrr20100rRrrr其中：例1、写出球域内狄式问题的解。000(,)()(,)SVGMMuMdSGMMfdVn解：泊松方程狄氏问题的解为：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n17rRrRGGnr在球面上在球域上，由于：00011111(,)44RGMMrrrrr2222000111111442cos2cosRrrrrrrrrr2222240000111442cos2cosRrrrrrrRrrR0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n18220322200142cosSRrGnRRrRr所以：所以，球域上狄氏问题的解为：220032220001()42cos(,)SVRruMdSRRrRrGMMfdV0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n19问题：写出球域上拉氏狄氏问题的解的球坐标表达式。球坐标变换：sincossinsin(0,02,0)cosxryrrzr所以：2200003222001(,,)42cosSRrurdSRRrRr0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n20222030022200,,sin42cosRrRRddRrRr所以，球域内拉氏方程狄氏问题解为：000,,ur222030022200,,sin42cosRrRRddRrRr0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n21在球坐标系下，由于的方向余弦分别为：0,OMOM00000sincos,sinsin,cossincos,sinsin,cos所以：000coscoscossinsincos()M0MM1xyzO0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n22球形域狄氏问题解总结据此能够写出格林函数1、格林函数：记住镜像电荷位置与电量：210Rrr00Rqr00011111(,)44RGMMrrrrr2、狄氏解表达式220032220001()42cos(,)SVRruMdSRRrRrGMMfdV0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n233、拉氏狄氏解在球坐标系下的表达式000,,ur222030022200,,sin42cosRrRRddRrRr其中：000coscoscossinsincos()0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n24例2设有一半径为R的均匀球，上半球面的温度保持零度，下半球面温度保持1度。求球内的稳定温度分布以及温度在球的铅垂直径：θ0=0(直径的上半部分)上的温度分布。解：定解问题为：(,,)0,()0,(021,.2rRurrRu由球域内拉氏方程狄氏问题解的积分表达式得：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n25000,,ur222030022200,,sin42cosRrRRddRrRr222030222200sin42cosRrRddRrRr下面求θ0=0时的温度分布.0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n26000,,ur222030222200sin42cosRrRddRrRr此时有cosθ=cosγ,所以：2202220001112RrRrrRr0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n27(2)、上半空间狄氏问题的Green函数0000,,,(0)0zGxxyyzzzG分析：问题等价于上半空间M0处电量为ε0的正点电荷在M处产生的电势，且在xoy平面上为0。由镜像法：格林函数G(M,M0)等于在(x0,y0,-z0)处置一电量为-ε0的点电荷在M处产生的电势与M0处电量为ε0的正点电荷在M处产生的电势的叠加。yM0M1Mxzo0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n28所以有：0101()4MMuMr01012111(,)4MMMMGMMuurr1211()4MMuMr即：2222220000001114()()()xxyyzzxxyyzz0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n29例3、写出上半空间狄式问题的解000(,)()(,)SVGMMuMdSGMMfdVn解：泊松方程狄氏问题的解为：00zzGGnz由于：0322200012()zxxyyz0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n30..00003..222200