平面向量综合练习题

一、选择题1．下列命题中正确的是()A.OA→－OB→＝AB→B.AB→＋BA→＝0C．0·AB→＝0D.AB→＋BC→＋CD→＝AD→考点向量的概念题点向量的性质答案D解析起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA→－OB→＝BA→；AB→，BA→是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB→＋BA→＝0；0·AB→＝0.2．已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为()A．－13B．9C．－9D．13考点向量共线的坐标表示的应用题点已知三点共线求点的坐标答案C解析设C点坐标(6，y)，则AB→＝(－8,8)，AC→＝(3，y＋6)．∵A，B，C三点共线，∴3－8＝y＋68，∴y＝－9.3．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB→＝(1，－2)，AD→＝(2,1)，则AD→·AC→等于()A．5B．4C．3D．2考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案A解析∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC→＝AB→＋AD→＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，∴AD→·AC→＝2×3＋(－1)×1＝5.4．(2017·辽宁大连庄河高中高一期中)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，a＋λb与a垂直，则λ等于()A．－2B．1C．－1D．0考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点已知向量垂直求参数答案C解析a＋λb＝(1＋4λ，－3－2λ)，因为a＋λb与a垂直，所以(a＋λb)·a＝0，即1＋4λ－3(－3－2λ)＝0，解得λ＝－1.5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2B．4C．6D．12考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模答案C解析因为a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2|a|，所以(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.所以|a|＝6.6．定义运算|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ是向量a，b的夹角．若|x|＝2，|y|＝5，x·y＝－6，则|x×y|等于()A．8B．－8C．8或－8D．6考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案A解析∵|x|＝2，|y|＝5，x·y＝－6，∴cosθ＝x·y|x|·|y|＝－62×5＝－35.又θ∈[0，π]，∴sinθ＝45，∴|x×y|＝|x|·|y|·sinθ＝2×5×45＝8.7．如图所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.设AB→＝a，AC→＝b，AF→＝xa＋yb，则(x，y)为()A.12，12B.23，23C.13，13D.23，12考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案C解析令BF→＝λBE→.由题可知，AF→＝AB→＋BF→＝AB→＋λBE→＝AB→＋λ12AC→－AB→＝(1－λ)AB→＋12λAC→.令CF→＝μCD→，则AF→＝AC→＋CF→＝AC→＋μCD→＝AC→＋μ12AB→－AC→＝12μAB→＋(1－μ)AC→.因为AB→与AC→不共线，所以1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，解得λ＝23，μ＝23，所以AF→＝13AB→＋13AC→，故选C.二、填空题8．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为________．考点平面向量数量积的应用题点已知向量夹角求参数答案238解析由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，即3m＋(5m－3)×2×cos60°－5×4＝0，解得m＝238.9．若菱形ABCD的边长为2，则||AB→－CB→＋CD→＝________.考点向量加、减法的综合运算及应用题点利用向量的加、减法化简向量答案2解析||AB→－CB→＋CD→＝||AB→＋BC→＋CD→＝||AC→＋CD→＝||AD→＝2.10．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案32解析因为向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10.所以4a2＋b2－4a·b＝10，化为4＋|b|2－4|b|cos45°＝10，化为|b|2－22|b|－6＝0，因为|b|≥0，解得|b|＝32.11．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案[0,1]解析b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cosθ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ(θ为a与b的夹角，θ∈0，π2)，∴0≤|b|≤1.三、解答题12．(2017·四川宜宾三中高一月考)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且OP→＝xOA→＋yOB→.(1)若AP→＝PB→，求x，y的值；(2)若AP→＝3PB→，|OA→|＝4，|OB→|＝2，且OA→与OB→的夹角为60°，求OP→·AB→的值．考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义解(1)若AP→＝PB→，则OP→＝12OA→＋12OB→，故x＝y＝12.(2)若AP→＝3PB→，则OP→＝14OA→＋34OB→，OP→·AB→＝14OA→＋34OB→·()OB→－OA→＝－14OA→2－12OA→·OB→＋34OB→2＝－14×42－12×4×2×cos60°＋34×22＝－3.13．若OA→＝(sinθ，－1)，OB→＝(2sinθ，2cosθ)，其中θ∈0，π2，求|AB→|的最大值．考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模解∵AB→＝OB→－OA→＝(sinθ，2cosθ＋1)，∴|AB→|＝sin2θ＋4cos2θ＋4cosθ＋1＝3cos2θ＋4cosθ＋2＝3cosθ＋232＋23，∴当cosθ＝1，即θ＝0时，|AB→|取得最大值3.四、探究与拓展14．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且|BO→|＝3|CO→|，当AO→＝xAB→＋yAC→时，x－y＝________.考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案－2解析由|BO→|＝3|CO→|，得BO→＝3CO→，则BO→＝32BC→，所以AO→＝AB→＋BO→＝AB→＋32BC→＝AB→＋32(AC→－AB→)＝－12AB→＋32AC→.所以x＝－12，y＝32，所以x－y＝－12－32＝－2.15．已知OA→＝(1,0)，OB→＝(0,1)，OM→＝(t，t)(t∈R)，O是坐标原点．(1)若A，B，M三点共线，求t的值；(2)当t取何值时，MA→·MB→取到最小值？并求出最小值．考点向量共线的坐标表示的应用题点利用三点共线求参数解(1)AB→＝OB→－OA→＝(－1,1)，AM→＝OM→－OA→＝(t－1，t)．∵A，B，M三点共线，∴AB→与AM→共线，∴－t－(t－1)＝0，∴t＝12.(2)∵MA→＝(1－t，－t)，MB→＝(－t,1－t)，∴MA→·MB→＝2t2－2t＝2t－122－12，故当t＝12时，MA→·MB→取得最小值－12.