中考数学复习之反比例函数模型

昊南老师的话：反比例函数是初中数学比较小的一个章节，知识点主要包括反比例函数的概念、反比例函数的图象和性质、反比例函数比例系数k的几何意义。老师在大量研究了2016-2018年各地中考试题后发现，反比例函数的有关题目正在成为各地中考试题中的热点题型，态势上升明显。为什么反比例函数会受到全国中考出题老师的青睐呢？我想与反比例函数的变化多端是分不开的，而且容易与其他函数图象或其他图象建立联系，再者就是整张试题怎么也得出现点曲线调剂一下吧，二次函数往往要用在压轴题里面，所以反比例函数就成了选择题和填空题的备选知识点了。别看反比例函数知识点少，但题目类型很多，本节老师将反比例函数常见的一些类型进行了汇总，并列举了练习题和相应的中考题，疏漏在所难免，望大家海涵！模型特征：如过反比例函数图像上一点作坐标轴的垂线，该点、垂足与坐标轴上一点（含原点）构成的三角形面积等于12𝑘.模型示例：一点一垂线模型xyCOAB𝑆∆𝐴𝐵𝐶=12𝑘xyCOA𝑆∆𝐴𝑂𝐶=12𝑘xyBOAC𝑆∆𝐴𝐵𝐶=12𝑘练习1：如图，过反比例函数𝑦=𝑘𝑥𝑥0的图象上一点A作AB⊥𝑥轴于点B，连接AO，若𝑆△𝐴𝑂𝐵=2，则𝑘的值为_______。一点一垂线模型xyBOA一点一垂线模型xyBOA【解析】练习2：【2018安徽】如图，正比例函数𝑦=𝑘𝑥与反比例函数𝑦=6𝑥的图象有一个交点𝐴(2,𝑚)，AB⊥𝑥轴于点B.平移直线𝑦=𝑘𝑥，使其经过点B，得到直线𝑙，则直线𝑙对应的函数表达式是________.一点一垂线模型一点一垂线模型【解析】练习3：如图，在平面直角坐标系中，点D在函数𝑦=𝑘𝑥𝑥0的图象上，DA⊥𝑥轴于点A，点C为线段AD的中点，延长线段OC交函数𝑦=𝑘𝑥𝑥0的图象于点E，EB⊥𝑥轴于点B，若四边形ABEC的面积为1，则𝑘的值为______。一点一垂线模型xyCBAODE一点一垂线模型【解析】模型特征：过反比例函数图像上一点作两条坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形面积等于𝑘.模型示例：一点两垂线模型xyMNOPS矩形PMON=𝑘xyS2S1ABFDECS1=S2练习1：如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数𝑦=𝑘𝑥𝑥0的图象上，正方形ADEF的面积为9，且𝐵𝐸=53𝐴𝐹，则𝑘的值为_______。一点两垂线模型xyFDCAOBE【解析】一点两垂线模型练习2：如图，点A，B是双曲线𝑦=6𝑥上的点，分别过点A，B作𝑥轴和𝑦轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为_______。一点两垂线模型xyNKMEDOAB【解析】一点两垂线模型模型特征：两条双曲线上的两点的连线与一条坐标轴平行，求该两点与原点构成或坐标轴围成的图形面积，结合𝑘的几何意义求解。模型示例：S矩形ABCD=𝑘1−𝑘2S△AOB=12𝑘1−𝑘2xyDACOB𝑦=𝑘1𝑥𝑦=𝑘2𝑥xyBCOA𝑦=𝑘1𝑥𝑦=𝑘2𝑥xyBMOAC𝑦=𝑘2𝑥S△ABC=S△AOB=12𝑘1+12𝑘2两曲一平行模型练习1：如图，平行于x轴的直线与函数𝑦=𝑘1𝑥𝑘10,𝑥0，𝑦=𝑘2𝑥𝑘20,𝑥0的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为𝑥轴上的一个动点。若△ABC的面积为4，则𝑘1−𝑘2的值为_______.xyBOAC两曲一平行模型【解析】两曲一平行模型练习2：如图，点A是反比例函数𝑦=2𝑥𝑥0的图象上任意一点，AB∥𝑥轴交反比例函数𝑦=−3𝑥的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在𝑥轴上，则S□ACBD为_______.两曲一平行模型xyDBOAC𝑦=−3𝑥𝑦=2𝑥【解析】两曲一平行模型练习3：【2018浙江】如图，点A，B在反比例函数𝑦=1𝑥𝑥0的图象上，点C，D在反比例函数𝑦=𝑘𝑥𝑘0的图象上，AC∥BD∥𝑦轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为32，则𝑘的值为（）A.4B.3C.2D.32两曲一平行模型【解析】两曲一平行模型模型特征：过正比例函数与反比例函数的一个交点作坐标轴的垂线，两交点与垂足构成的三角形的面积等于𝑘.模型示例：两点一垂线模型xyMBAO𝑠△𝐴𝐵𝑀=𝑘xyMBAO𝑠△𝐴𝐵𝑀=𝑘练习1：如图，已知正比例函数𝑦=2𝑥与反比例函数𝑦=𝑘𝑥𝑘0的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为4，若点C的坐标为（0,8），连接AC，BC，求△ABC的面积。两点一垂线模型xyCBAO【解析】两点一垂线模型练习2：【2018济宁】如图，点A是反比例函数𝑦=4𝑥𝑥0图象上一点，直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏过点A，并且与两坐标轴分别交于点B，C，过点A作AD⊥𝑥轴，垂足为点D，连接DC.若△BOC的面积是4，则△DOC的面积是_______.两点一垂线模型xyBCDAO【解析】两点一垂线模型模型特征：反比例函数与正比例函数的两个交点的连线及由交点向不同坐标轴所作两条垂线围成的图形（或两交点及由交点向同一坐标轴所作两条垂线的垂足构成的图形）的面积等于2𝑘.模型示例：两点两垂线模型𝑠△𝐴𝐵𝐶=2𝑘xyCBAOxyDCBAOS□ACBD=2𝑘练习1：如图，已知直线𝑦=2𝑥−2+𝑛经过原点，与双曲线𝑦=𝑛𝑥相交于点A，B，过点A作AC垂直于𝑥轴，交𝑥轴于点D，过点B作BC垂直于𝑦轴，交𝑦轴于点E，AD与BE的延长线相交于点C，求：（1）𝑛的值；（2）求四边形ODCE的面积。两点两垂线模型xyCEDBAO【解析】两点两垂线模型练习2：【2018福建】如图，直线𝑦=𝑥+𝑚与双曲线𝑦=3𝑥相交于A，B两点，BC∥𝑥轴，AC∥𝑦轴，则△ABC面积的最小值为________.两点两垂线模型xyCBAO【解析】两点两垂线模型模型特征：反比例函数与一次函数的交点和原点（或坐标轴上一点）所构成的三角形的面积，若两交点分别在两个分支上，用加法。模型示例：两点和一点模型𝑠△𝐴𝑂𝐵=12OC∙𝑥𝐴−𝑥𝐵xyDCABO𝑠△𝐴𝑂𝐵=12OD∙𝑦𝐴−𝑦𝐵xyEDCABO𝑠△𝐴𝐵𝐸=12DE∙𝑦𝐴−𝑦𝐵xyDCABOE𝑠△𝐴𝐵𝐸=12EC∙𝑥𝐴−𝑥𝐵练习1：如图，直线𝑦=3𝑥−5与反比例函数𝑦=𝑘−1𝑥的图象相交于A（2，𝑚），B（𝑛，-6）两点，连接OA，OB.（1）求𝑘和𝑛的值；（2）求△AOB的面积。两点和一点模型xyABO【解析】两点和一点模型xyDABO练习2：【2018宜宾】如图，已知反比例函数𝑦=𝑚𝑥𝑚≠0图象经过点（1,4），一次函数𝑦=−𝑥+𝑏的图象经过反比例函数图象上的点Q（-4，n）.（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连接OP，OQ，求△OPQ的面积.两点和一点模型两点和一点模型模型特征：反比例函数图象与四边形图形相结合，已知面积求值，或已知值求面积。通常会用到反比例函数图象上点的横纵坐标乘积相等。模型示例：与四边形组合模型xyACBODExyDCOAB练习1：【2018重庆】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数𝑦=𝑘𝑥𝑘0,𝑥0的图象上，横坐标分别为1,4，对角线BD∥𝑥轴.若菱形ABCD的面积为452，则𝑘的值为（）A.54B.154C.4D.5与四边形组合模型【解析】与四边形组合模型练习2：【2018盐城】如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数𝑦=𝑘𝑥𝑥0的图象经过点D，交BC边于点E，若△BDE的面积为1，则𝑘=______.与四边形组合模型【解析】与四边形组合模型大部分的中考试题中，对反比例函数的考查都出现在选择题和填空题中，但是有些出题老师觉得还不够刺激，就将反比例函数的知识点放在更加综合的解答题中，难度有所增加，但大家只要记住前面介绍的各个模型的特点，还是能顺利解答的。大家就【2018达州】中考试题的23题练练手吧！练习3：【2018达州】如图，矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB，OA所在直线为x轴、y轴，建立如图（1）平面直角坐标系.F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数𝑦=𝑘𝑥𝑘0的图象与边AC交于点E.（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；（2）连接EF，求∠EFC的正切值；（3）如图（2），将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式.与四边形组合模型图（1）图（2）与四边形组合模型与四边形组合模型与四边形组合模型