江苏省高数专转本冲刺班数学习题训练5至9讲

第五讲：微分中值定理与导数的应用的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1、已知()(3)(4)(5)fxxxx，则'()0fx有（B）A一个实根B两个实根C三个实根D无实根解：（1）()[34]34fx在，连续在（，）(3)(4)0ff可导且()fx在[34]，满足罗尔定理条件故有1'()0f（134）(2)()[4,5]fx同理在满足罗尔定理22'()0,45f有综上所述，'()0(3,5fx在至少有两个实根3'()0fx（）是一元二次方程，至多有两个根，故选Ｂ2．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是（D）A2(),[0,3]fxxxB21(),[1,1]fxxxC(),[1,1]fxxxD()3,[0,3]fxxxx解：()3[0,3]fxxx在连续'()323xfxxx()fx[03](0)0f在，可导且，(3)0f满足罗尔定理条件．故选D3．设曲线33yxx，则其拐点坐标为（C）A0B（0，1）C（0，0）D1解：3''3,''6yxyx．令''0y．得0x．0,''0xy当有．当0x时，''0y．故（0，0）为曲线的拐点C4．若()(),0fxfx且在（，+）内'()0,''()00fxfx则在（，）必有（C）A'()0,''()0fxfxB'()0,''()0fxfxC'()0,''()0fxfxD'()0,''()0fxfx解：()0fx为偶函数且在（，）()fx单调递增,曲线为凹弧如示意图，故有(,0),()0,''0fxfC选5．设3ln3fxaxbxx（）在12xx，取得极值。则,ab为．．．（Ｂ）A1,22abB12,2abC1,22abD12,2ab解：⑴'()23'(1)0afxbxxfx32ab①⑵'(2)0,68fab②①—②630b得12b代入①得122,2aab答答案选Ｂ6．下列命题中正确的是----------（B）A0x为极值点，则必有0'()0fxB若()fx在点0x处可导，且0x为()fx的极值点，则必有0'()0fxC若()fx在（ab，）有极大值也有极小值则极大值必大于极小值。D若0'()0fx则点0x必有()fx的极值点。解：可导函数的极值点一定是驻点，故有'()fx=0选B二、填空题（每小题4分，共24分）7．设()fx可导，且0()()fxfx是的极小值。则000(2)()lim0nfxnfxn解：原式=000(2)()lim22nfxhfxh'02()200fx8．ln()xfxx的单调增加区间为(0,)e解：（1）定义域(0,)（2）'21ln()xfxx当0xe时。'()0fx故()fx的单调增区间为（0，e）9．233()2fxxx的极小值是12解：（1）113'3131()1xfxxx（2）令'0fx，驻点1x．0x是fx不可导点x(,0)0(0,1)1(1,)'()fx+__+()fx单调增单调减极小单调增（3）极小值31(1)122f10．23()1(2)fxx在[0，3]的最大值为1解：（1）132'()(,23fxxx-2)是()fx的不可导点。（2）23(2)1,(0)12,(3)0fff（3）最大值为(2)1f11．曲线21(21)xyxx的水平渐进线为＿＿解：2221111limlim1222xxxxxxx∴直线12y是曲线的一条水平渐进线12．函数()lnfxxx在[1，2]满足拉格朗日中值定理条件的4e解：（1）(2)f—(1)f='()(21)f2ln20(1ln（2）ln2ln21ln4lne41,2e三、计算题（每小题8分，共64分）13.已知2()fxpxqxr在区间[,]ab满足拉格朗日中值定理条件，求解：(1)()()(2)()fbfapqba22()()(2)()pbaqbapqba()2pabqpq，2()ppab(,)2abab14．求函数23()23fxxx的单调区间与极值。解：（１）113''3131()222()0xfxxfxx令驻点，1,xfx的不可导点0x（2）x(,0)-1(1,0)0(0,)'()fx+-+()fx极大极小（3）极大值，极小值00f，fx在1,0单调减fx在,1,0,单调增15求由方程221(0)xyyy所确定()yyx的极值。解：（1）求驻点：2222''0xyxyyy令2'0,20,(0)yxyy→驻点0x（2）判别极值点222222'4'2(''')''0yxyyxyyxyyyy当0x时1y代入上式2+0+0+0+''00y''(0)y=20.0x为极大值点，（3）极大值(0)1y16．求23()2(6)fxxx在区间[2，4]上的最大值，最小值。解：（1）22231'()2(6)(624)3fxxxxx令'0fx，0x为不可导点（2）∵3(2)644,(0)0,ff(4)4f（3）比较上述函数的大小最小值为4，最大值为017．求曲线5235(1)9yxx的凹凸区间与拐点。解：（1）定义域（--∞，+∞）（2）23105'(1)93yxx131010''(1)99yx令31310''0,''(11)09(1)yyxx得0x；''y不存在的点为1x（3）列表x（-∞，00（0，-1）1（1，+∞）''y+—+y凹拐点凸拐点凹答：拐点（0，1）及（1，59）；(,0)，(1,)为凹区间，（0，1）为凸区间。18．求曲线1(1)xxye的水平渐近线与垂直渐近线。解：（1）10lim(1)111xxxey是曲线的一条水平渐近线。（2）01ln(1)limlim(1)xxxxxexeelimlim1'xxxxxxeeeeeeeye是曲线的另一条水平渐近线（3）∵10lim(1)20xxxex为曲线的一条垂直渐近线19．判别函数sin()xfxx在(0,)2的单调性。解：（1）2cossin'()xxxfxx（２）令()cossin,'()singxxxxgxxxo()(0,)2gxx且(0)0g()(0)0()0gxggx（3）()sin'()0()gxxfxfxxx在(0,)2单调减。20．设2,0arctan,0(){xxxxxfx确定()fx单调的区间。解：（1）200'(0)lim0.xxfx0arctan'(0)lim0.0xxxfx故有'(0)0f为驻点（2）当0x时，'()20()(0)fxxfxx0x时，2'()arctan01xfxxx()(0)fxx（3）除0x外，'()0fx．()fx在(,)单调增加。四、综合题（每小题10分，共２０分）21已知函数的图形上有一拐点（2，4），在拐点处曲线的切线斜率为3，而且该函数满足''6yxa，求此函数解（1）已知；'''(2)3,(2)0,(2)4yyy（2）求常数'''':6,(2)0ayxay由120a得，''12612ayx即（3）求'y：''612yx'21312yxxc，由'11(2)3,122439ycc知'23129yxx即（4）求函数y:'23129yxx32269(2)42yxxxcyc由得答：所求函数y=32692xxx22利用导数描绘xyxe的图形解：（1）定义域(,)，非奇非偶函数（2）求驻点和''0y的点'1xyxe，令'0y，驻点1x''2xyxe，令''0y，得2x（3）列表x(,1)1(1,2)2(2,)'y+__''y__+y极大拐点极大值1(1)fe，拐点2(2,2)e（4）渐近线与函数变化趋势1limlim00xxxxxyee是曲线的一条水平渐进线，limxxxe（5）描点作图当0x时0y五、证明题（每小题9分，共18分）23设0,()(0)0,xfxf连续，0'()xfx当时,存在且'()fx单调增加，证明当0x时fxx单调增加证明：1）令()(0)fxFxxx()2'()()(2)'()xfxfxFxx2(0)0'()[()(0)]fxfxfxfx2'()'()(0)xfxxfxx微分中值定理'()'()fxfx当0x时，'()fx单调增加'()'(),'()'()0ffxfxf即故有()'()0.(0,)fxFxx即在单调增加24设()[,]fxab在连续，a,b在可导（)，证明1[()()]()'()nnnnfbfabaf，(,)ab证明：1）构造辅助函数：()[()()]()()nnnFxxfbfabafx（2）()[,]Fxab在连续，a,b在可导（)，且()()()()()nnnnFaafbafabfaafa()()()()()nnnnFbbfbbfabfbafb()()()()nnFaFbafbbfa由罗尔定理知'()0.F即1[()()]()'()nnnnfbfabaf(,)ab＊选做题证明方程：cos0xpqx恰有一实根，其中,pq常数，且01q证明：（1）令()cosfxxpqx(2)'()1sin0()fxqxfx()0fx故最多有一实根3()fx-q-p,q-p（）在[]连续且()cos0fqpqppqqp()fq-p=q-p+p+qcosqp0()()0fx由零点定理知：至少有一实根(4)综上所述：()0fx有且仅有一个实根第六讲:利用导数证明不等式及导数应用题的强化练习题答案1．当0x时,证明111ln11xxx成立.证：(1)变形:1ln1ln1lnxxx,这是对数函数的增量形式令ln,,1ftttxx(2)()lnftt在,1xx应用拉格朗日中值定理:1ln1ln1xxxx111,11xxxx(3)1111,1xxxx故有111ln101xxxx证毕！2．证明:arctanarctanabab成立证：(1)构造辅助函数,令arctan,,,fxxbaba(2)arctanfxx在,ba应用拉格朗日定理:1arctanarctan()1ababba1arctanarctan1abab(3)101arctanarctan1abab对于ba的情形,同理可证.证毕3．证明:当0x时,有1xxxexe成立.证：(1)构造辅助函数：01xxeee∴令,0,tftetx(2)tfte在0,x应用拉格朗日中值定理,00,0xeeexx(3)xe是单调增函数0xeee，故有1xxxexe,0x证毕4．当0x时,证