自动控制理论_19开环对数频率特性曲线的绘制

第五章频率域方法5.3开环对数频率特性曲线的绘制根据叠加原理，绘出各环节的对数幅频特性分量，再将各分量的纵坐标相加，就得到整个系统的开环对数幅频特性；将各环节的相频特性分量相加，就成为系统的开环对数相频特性。例)105.0)(1()15.0(10)(sssssG1.确定出系统开环增益K，并计算。20lgK2.确定各环节的转折频率，并标注在横轴上。3.在半对数坐标上确定=1且纵坐标等于20lgKdB的点A。过A点做一直线，使其斜率等于-20dB/dec。当=0,=1,=2时，斜率分别是(0，-20，-40)/dec。伯德图的绘制的一般方法（无须叠加）4.从低频段第一个转折频率开始做斜直线，该直线的斜率等于过A点直线的斜率加这个环节的斜率（惯性环节加-20，振荡环节加-40，一阶微分环节加+20的斜率），这样过每一个转折频率都要进行斜率的加减。例已知单位负反馈系统如图所示，试做出系统的开环伯德图。解：作L():(1)4040/41011(4)(1)1144KGssssTsssss因此，开环增益K=10转折频率114(1/s)20lg20dBKT/s-1L()/dB0.11011002040-20-400-20dB/dec4AB-40dB/dec例。用伯德图一般法重绘例15例已知一单位负反馈系统开环传递函数220010.24100sGsssss试作系统开环对数幅频L()图。解：作L():220010.2100510.010.041sGsssss2001020lg20dB0.2100KK123n0.2,1,10,0.2120lg8dB2/s-1L()/dB0.11011002040-20-400A-20dB/dec0.2B-40dB/decC-20dB/decD-60dB/dec123例已知某最小相位系统的对数幅频特性渐近线如图，试写出该系统的开环传递函数。decdB/20decdB/40decdB/20dB1572解：（1）低频渐近线的斜率为-20故系统有且仅有一个积分环节即1v（2）因低频渐近线在处的对数幅值为15dB16.515lg20KK（3）在处，对数幅频特性渐近线的斜率由[-20]变为[-40]，故是惯性环节的转折频率，225.021TT（4）在处，特性曲线的斜率由[-40]变回到[-20]，则知是一阶微分环节的转折频率，7714.071)15.0()114.0(6.5)1()1()(sssTsssKsG控制系统的闭环稳定性是系统分析和设计所需解决的首要问题，频域稳定判据的特点是根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性，使用方便，易于推广。Nyquist稳定判据是其中的代表。5-4频率稳定判据一、奈奎斯特稳定判据反馈控制系统sNsMsG11sNsMsH22开环传递函数sNsNsMsMsHsG2121闭环传递函数sHsGsF1令sMsMsNsNsNsMsHsGsGs2121211)(sNsNsMsMsNsN212121将F(s)写成零、极点形式，有niiniipszssF11辅助函数F(s)具有如下特点：①其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。②其零点的个数与极点的个数相同。③辅助函数与系统开环传递函数只差常数1。设S为复变量，F(S)为S的有理分式函数，对于S平面上任一变量点，通过复变函数F(S)的映射关系，在F(S)平面上可确定关于变量的象。在右半S平面上任选一条不通过F(S)任何零极点的闭合曲线Γs，S从闭合曲线Γs上任意一点A起,顺时针沿Γs运动一周,再回到A点，那么相应F(S)平面上的象F(s)则从B点起,到B点止形成一条闭合曲线ΓF。1.辐角原理（柯西）)(sFFj1z2ziz1iz1pizssABjsFS平面上的闭合曲线Γs内部仅有1个F(s)的零点，F(s)的其它零极点如图所示。当闭合曲线Γs上任一点S沿顺时针方向转动一圈时，F(s)总的相角增量为)()()()()()()()()(212111nnniiniipspspszszszspszssF)(sFFj1z2ziz1iz1pizssABjsFniiniipszssF11202上式表明，在F(s)平面，ΓF曲线从B点开始绕原点顺时针转了一圈。同理，当s在s平面从A点开始绕1个F(s)的极点顺时针转一圈时，在F(s)平面上，ΓF曲线从B点开始绕原点反时针转一圈。)(sFFj1z2ziz1iz1pizssABjsF定理如下：•如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点，有P个F(s)的极点，则s依顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点反时针转的圈数R为P和Z之差，即R＝P－Zss•若R为负,表示F(s)曲线绕原点顺时针转过的圈数。将Γs曲线扩展为整个右半s平面，此时的曲线叫做奈奎斯特轨迹，则辐角原理可以用来判断闭环稳定性。闭环系统稳定的充要条件为F(S)函数在s平面右半部的零点数Z=0即PR2、奈氏判据对于包含了整个右半s平面的Nyquist轨迹来说，Z和P分别为闭环传递函数和开环传递函数在右半s平面上的极点数，s沿奈氏轨迹运动，F(s)在F(s)平面上绕原点反时针旋转圈数R=P-Z.F(s)与G(s)H(s)相差常数1，显然F(s)在F(s)平面上绕原点等效于在G(s)H(s)平面上绕(-1,j0)点，而G(s)H(s)平面上的函数通过s=jw替代就是开环幅相频率特性曲线.G(s)H(s)=F(s)-1F(s)平面G(s)H(s)平面定理如下：若开环传函在s的右半平面有p个极点，为了使闭环系统稳定，当从变化时，的轨迹必反时针包围GH平面上的(-1,j0)点P次。即)()(sHsG~)()(jHjG0RPzz—闭环传递函数在s右半平面的极点数。（的零点数）p—开环传函在s右半平面的极点数。R—绕(-1,j0)点反时针转的次数。•若为顺时针转需注意符号。)()(jHjG)(sF例•已知系统开环传递函数试应用奈氏判据判别K=0.5和K=2时的闭环系统稳定性。1)(sKsG分别作出K=0.5和K=2时开环幅相特性曲线•K=0.5时，闭环系统不稳定。•K=2时，闭环系统稳定。例系统开环传递函数为)52)(2(2.5)()(2ssssHsG试利用Nyquist判据判断闭环系统的稳定性。已知0P由图知，则2RRPZ2)2(0有2个闭环右极点系统不稳定例某Ⅱ型系统在s右半平面无开环极点，已知其开环特性如图所示，试判别系统的稳定性。解：已知P=0，由图知R=-2，则P≠R，闭环系统不稳定。其位于s右半平面的极点数为2)2(0RPZ201)()(0ZPNjjHjG＝转过的圈数为：），曲线绕（－变化，对应的从NPRPZ2系统不稳定，考虑到开环幅相频率特性曲线具有对称性例系统开环传递函数为)52)(2(2.5)()(2ssssHsG试利用Nyquist判据判断闭环系统的稳定性。已知0P由图知，则1NNPZ22)2(0例某Ⅱ型系统在s右半平面无开环极点，已知其开环特性如图所示，试判别系统的稳定性。解：已知P=0，由图知N=-1，则P≠2N，闭环系统不稳定。其位于s右半平面的极点数为2)2(02NPZ例设某Ⅰ型系统的开环特性如图所示。开环传递函数在右半s平面上没有极点，试用Nyquist判据判断系统的稳定性。解：已知P=0，由图可知N=0，则Z＝0，闭环系统稳定。*G(S)H(S)包含积分环节的处理办法.90)0()0(的圆弧逆时针补一个起从vjHjG穿越法判断包围圈数设N为开环幅相频率特性曲线穿越（－1，j0）点左侧负实轴的次数，N＋表示正穿越的次数（从上往下穿越），N－表示负穿越的次数（从下往上穿越），则)(22NNNR例系统开环传递函数为)52)(2(2.5)()(2ssssHsG试利用Nyquist判据判断闭环系统的稳定性。已知0P由图知01NN，NPZ22)2(0)(22NNNR2二、对数频率稳定判据在极坐标图上应用奈氏判据时，（－1,j0）点是个关键点，开环频率特性G(jω)H(jω)曲线是否围绕它，怎样围绕它，围绕几圈，掌握这些信息后，就可以判断闭环系统是否稳定。（－1，j0）点表示成幅角形式是而A(ω)＝1对应于对数幅频坐标图上L(ω)＝0的水平线；则对应于对数相频坐标图上－180°的水平线。因此可以进行坐标系转换。1)(1801A，即180)(180)(在极坐标图上，G(jω)H(jω)曲线每包围（－1,j0）点一次，必然是G(jω)H(jω)在A(ω)＞1的条件下穿越负实轴(－∞，－1)区段一次。若G(jω)H(jω)曲线逆时针包围（－1,j0）点一圈，意味着G(jω)H(jω)曲线在(－∞，－1)区段有一次正穿越；相反，若G(jω)H(jω)曲线顺时针包围（－1,j0）点一圈，意味着有一次负穿越。这种正负穿越在对数坐标图上的对应关系是：在对数坐标图的L(ω)＞0dB的范围内，当ω增加时，相频特性曲线从下向上穿过－180°相位线为正穿越，反之为负穿越。频线的一部分。补上的虚线看作相角。计算正负穿越时将处，用虚线向上补画＝频曲线上环节时，对应在对数相开环传递函数含有积分＋20v根据对数坐标图上频率特性的穿越情况，可将对数频率判据陈述如下：设系统开环传递函数G(s)H(s)在右半s平面上的极点数为P，则闭环系统稳定的充分必要条件为：在开环对数幅频特性的所有区段内，当频率增加时对数相频特性相位线的正负穿越次数之差为。对于闭环不稳定的系统，其右半s平面上的极点数为dBL0)(180)(对2P)(2NNPZ例试用对数判据判断闭环稳定性。)11.0(10)()(sssHsG已知系统开环传递函数由开环传递函数得P=0。所以闭环稳定NNN000例用对数判据判稳)1002(300)()(2ssssHsG值为处振荡环节的对数幅频在ndB14)1.02lg(2021lg201,0NN22NPZ闭环不稳定5-7（1、3）绘幅频线5-9（1、2、3）5-11（1、2、3、4、5）作业（19）