第3章 平稳性与功率谱密度

第3章平稳性与功率谱密度2020/2/152问题•平稳和非平稳的含义是什么？•现实生活中哪些是平稳信号或非平稳信号？•严格平稳与广义平稳（或宽平稳）有什么关系？•严格平稳与严格循环平稳有什么关系？2020/2/153目录3.1平稳性与联合平稳性3.2循环平稳性3.3平稳信号的相关函数3.4功率谱密度与互功率谱密度3.5白噪声与热噪声3.6应用举例2020/2/1543.1平稳性与联合平稳性平稳性（Stationarity）:随机信号的主要（或全部）统计特性对于参量t保持不变的特性。包括严平稳与宽平稳。严平稳又称为狭义平稳或强平稳，宽平稳又称为广义平稳或弱平稳。2020/2/155严格平稳信号的定义2020/2/156严格平稳信号的理解•一个随机信号X(t)，如果它的n维概率密度（或n维分布函数）不随时间起点选择的不同而改变，则该随机信号为平稳的•平稳信号的统计特性与所选取的时间起点无关，或者说平稳信号的统计特性不随时间的推移而变化2020/2/157广义平稳信号的定义2020/2/158非平稳信号•不是广义平稳的信号•统计量随时间变化的信号（时变信号）2020/2/159平稳信号和非平稳信号举例•接收机噪声信号：如果产生随机信号的主要物理条件在时间进程中不变化，则此信号认为是平稳的。例如，一个工作在稳定状态下的接收机，其内部噪声可以认为是随机平稳信号。但当刚接上电源，该接收机工作在过渡状态下或环境温度未达到恒定时，此时的内部噪声则是非平稳随机信号。•语音信号：语音信号本身是非平稳信号，但在10-30ms时段内可以看成是短时平稳的，便于用平稳信号的分析方法去处理问题。•将随机信号划分为平稳和非平稳有重要的实际意义，若是平稳的，可简化分析。例如，测量电阻热噪声的统计特性，由于是平稳的，在任何时间测试都可以得到相同的结果。2020/2/1510语音信号接收机噪声信号2020/2/1511严格平稳与广义平稳的关系如果广义平稳信号是高斯信号，则也是严格平稳信号。独立同分布的信号必定是严格平稳信号。关于离散随机信号（或离散序列）的平稳性问题，只需要将连续时间变量t换为离散时间n即可。严格平稳要求全部统计特性都具有移动不变性，而广义平稳只要求一、二阶矩特性具有移动不变性。2020/2/1512严格平稳信号的性质（1）X(t)的一阶分布、密度函数和均值都与时间无关F(x;t)=F(x;t+u)=F(x)f(x;t)=f(x;t+u)=f(x)E[X(t)]=m(t)=m(t+u)=常数（2）X(t)的二维分布和密度函数与两个时刻(t1,t2)的绝对位置无关，只与它们的相对差τ=t1-t2有关F(x1,x2;t1,t2)=F(x1,x2;t1+u,t2+u)=F(x1,x2;τ,0)=F(x1,x2;τ)f(x1,x2;t1,t2)=f(x1,x2;t1+u,t2+u)=f(x1,x2;τ,0)=f(x1,x2;τ)R(t1,t2)=R(t1+u,t2+u)=R(τ,0)=R(τ)只关注两个参量(t1,t2)的相对差，而绝对位置可以任意移动，其中τ=t1-t2为核心变量，有文献称为时滞。2020/2/1513一阶密度函数平稳性示例相关函数的平稳性示例2020/2/1514证明：如果高斯信号X(t)是广义平稳的，则其均值为常数m，协方差满足平移不变性，即C(s,t)=C(s+τ,t+τ)。高斯信号的特征函数为1212121111(,,,;,,,)exp(,)2nnnnXXXnnkikikkikvvvtttjmvCttvv121212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,)nnXXXnnXXXnnvvvtttvvvttt对于任何τ，有故该信号是严格平稳的。定理3.1广义平稳的高斯信号必定是严格平稳的。2020/2/1515解：由独立性，有上式与各个参量ti本身无关，也与这组参量的平移无关，故U(t)是严格平稳信号。niinnnautttuuuf122212121exp21,,,;,,,2020/2/1516解：根据各个信号的均值、相关函数及概率特性，容易得出：(1)伯努利信号是严格平稳信号，也是广义平稳信号；(2)随机正弦信号（该例条件下）是广义平稳信号；(3)半随机二进制传输信号与泊松信号是非平稳的。例3.2试说明2.2节各例的平稳性。2020/2/15172020/2/151800()()cos()()cos()0EYtEXtwtEXtEwt00000(,)()()cos(())()cos()()()cos(())cos()1cos2XRttEYtEXtwtXtwtEXtXtEwtwtRw解：Y(t)的均值和相关函数分别为：由于Y(t)的均值为零，相关函数仅与τ有关，故Y(t)是广义平稳的。2020/2/1519补充例1•设随机过程X(t)=At，A为均匀分布于[0,1]上的随机变量，试问X(t)是否平稳？解：因为其中a为随机变量A的样本,可见不是平稳的。10/2AmtEXtEAttafadat2020/2/1520补充例2()[()]cos[]sin()cos()sin0coscossinsin2costEZtEXttEYtPtyPytYZiiiiiiZ1212221212m=xxRt,t=EZ(t)Z(t)=EXtttt解：因为设随机变量Z(t)=Xcost+Ysint,-∞t∞，其中X和Y为相互独立的随机变量，且分别以概率2/3和1/3取值-1和2。讨论随机过程X(t)的平稳性。式中τ=t1-t2，可见Z(t)是广义平稳过程。2020/2/152133322223333()coscossincossinsin2cossinEZtEXtXYttXYttYttt又因为即Z(t)的三阶矩与时间t有关，故Z(t)不是严格平稳过程。2020/2/1522补充例322()()()()0,()()XXtXkXkXkXkXt随机过程，k=...,-2,-1,0,1,2,...,为相互独立且具有相同分布的随机变量序列，EE，分析的平稳性。22()0(),()()0XXXkXkrskRrsXrXsXrEXsrsrsrsXmkEEEE解：X(k)的数学期望和相关函数分别为：显然X(k)为广义平稳。2020/2/152312121122,,;,,,,,XnnnXXXnnXfxxxtttfxtfxtfxtfx又因为X(k)在各个时刻的分布相同且相互独立，故其n维密度函数为：上式说明X(k)的n维概率密度与时间平移（按整数间隔平移）无关，所以X(t)也是狭义平稳的。2020/2/1524联合平稳性2020/2/1525()()()()coscos0XEXtYtEXtXtwtREwt解：因为故输入与输出信号是联合广义平稳的，并且正交。注意：如果振荡不是随机相位，则输出信号可能不是平稳的，输入与输出信号不会正交，也不会联合广义平稳。2020/2/15263.2循环平稳性2020/2/15272020/2/1528平稳性与循环平稳性的关系严格平稳过程可以看作严格循环平稳过程，其循环周期可以是任意值；严格循环平稳过程通过其在循环周期内均匀滑动后，变为严格平稳过程。2020/2/15291212,4([/][/])14RttpqtTtTpq解：（1）故X(t)是广义循环平稳过程，但不是广义平稳过程。例3.5半随机二进制传输过程X(t)，讨论其循环平稳性。半随机二进制传输信号：{X(t)=2Xn-1,(n-1)T≤t≤nT,t≥0},X(t)的均值m(t)=p-q为常数。其相关函数为R(t1+kT,t2+kT)=4pqδ([(t1+kT)/T]-[(t2+kT)/T])+1-4pq=4pqδ([t1/T]-[t2/T])+(k-k)+1-4pq=R(t1,t2)2020/2/1530（2）由于不同时隙上的取值彼此统计独立并具有相同的分布，该联合事件的概率取决于观察时刻之间的相对关系。任取观察时刻组t1,t2,…,tn∈(-∞,∞)和周期T，t1＋T,t2＋T,…,tn＋T∈(-∞,∞)，有121211221212,,;,,(),(),,(),,;,,XnnnnXnnFxxxtttPXtTxXtTxXtTxFxxxtTtTtT故X(t)是严格循环平稳过程。2020/2/1531乘法调制器0()()cosYtXtwt0()()()cos()ZtYtDXtDwtD理想乘法调制器模型为：实际乘法调制器模型为：D与X(t)统计独立，且在[0,2π/w0)上均匀分布2020/2/15322020/2/153300()()()coscosYXmtEYtEXtwtmwt0000(,)()cos()()cos1()cos(2)cos2YXRttEXtwtXtwtRwtw解：Y(t)的均值与相关函数为：mY(t)的周期是2π/w0，RY(t+τ,t)的周期是π/w0，因此Y(t)是广义循环平稳信号，周期为2π/w0。2020/2/1534Y(t)经过[0,2π/w0]上均匀的随机滑动D以后得到Z(t)，Z(t)=Y(t-D)，由定理3.3知道，Z(t)是广义平稳的。02/000cos02wZXwmmwtdt00200002/2/00000001()()cos(2)cos221()cos(2)cos2221()cos2ZXwwXXwRRwtwdtwwRwtdtwdtRw2020/2/15353.3平稳信号的相关函数性质1若{X(t),t∈T}是实平稳信号，则相关函数满足：（1）实偶函数，即R(τ)=R(-τ)；（2）在原点处非负并达到最大，即|R(τ)|≤R(0),R(0)=E[X2(t)]≥0；（3）若R(τ1)=R(0)，τ1≠0，则R(τ)是周期为τ1的周期函数，这时称X(t)为周期平稳信号；（4）若R(τ1)=R(τ2)=R(0)，τ1≠0，τ2≠0，且τ1与τ2是不公约的，则R(τ)为常数；（5）若R(τ)在原点处连续，则它处处连续。2020/2/1536（1）R(τ)是实偶函数，即R(τ)=R(-τ)；证明：()()()()()()REXtXtEXtXtR奇偶性2020/2/1537（2）在原点处非负并达到最大，即|R(τ)|≤R(0),R(0)=E[X2(t)]≥0；证明：令τ=t1-t2,由柯西-施瓦兹不等式，222221212()E[()()]()()0RXtXtEXtEXtR非负性2020/2/1538（3）若R(τ1)=R(0)，τ1≠0，则R(τ)是周期为τ1的周期函数，这时称X(t)为周期平稳信号；证明：令Z=X(t+τ+τ1)-X(t+τ),W=X(t)22211(()())()(()())[()]EXtXtXtEXtXtEXt经过化简，得到211()2(0)()(0)RRRRR周期性当R(τ1)=R(0)时，有R(τ+τ1)=R(τ)。因此R(τ)以τ1为周期。2020/2/1539（4）若R(τ1)=R(τ2)=R(0)，τ1≠0，τ2≠0，且τ1与τ2是不公约的，则R(τ)为常数；证明：R(τ)既以τ1为周期，又以τ2为周