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大学物理电子教案(力学2)质点运动学的两类基本问题1、微分问题:2、积分问题:rvatrvddtvaddttvrr00dttavv00detvaddnneva2积分问题注意:)(ta)(va)(ra代公式分离变量积分解微分方程例1:质点在平面上运动方程为(2)轨迹方程及运动情况。(3)证明(4)从时,位移、路程、平均速度、平均速率?求:(1)、、?avrtRxcostRysinR(、为常量)vr2t0t解:(1)jtRitRjyixrsincosjtRitRtrvcossinddrjtRitRtva222sincosdd(2)消去t得轨迹方程222RyxRvvvvyx22(不变)(圆轨道)匀速圆周运动vtxyorxy(3)0vrvr(4)0tiRr12tjRr2位移iRjRrrr12Δ路程242RRSΔ平均速度)ij(Rtrv2ΔΔ平均速率RRtSv22vv即平均速度的大小平均速率注意:(路程被时间除)R22v大小xyvtro1r2rrΔ例2:以与地面成角的初速度发射一炮弹,除重力加速度外,还因阻力具有与速度成正比且方向相反的加速度(比例系数为),求:炮弹的轨迹?00vk解:vgxy0vo0vka'jkvikvyxjgkvikvgaayx')(xxkva)(gkvayyxxkvtvdd)(ddgkvtvyy解微分方程要用分量式'a12分离变量,并积分1tkvvxxdd0t00cosvxvktvvx00coslnktxevv00cos式分离变量,并积分2又txvxddtvxxdddtcos00ktevt0t0x0tktekvx000|cos)1(cos00ktekv)(ddgkvtvyytkkgvvyyddt0yvv00sinkgekgvvkty)sin(00tyvydd同理tkgekgkvtvyktty)1)(sin(d2000炮弹的轨迹方程:)cos1ln()costg(002000xvkkgxkvgy不是抛物线!动画解:xa4xtv4dd作变换例3:质点沿轴运动,其,xa40ts/m6000vxx求:?tx?,xv)()(txxvtvaddddddxvvddxxvv4dd分离变量,并积分xxvvd4dxx0vv02436xv2436ddxtxvtxtxx002d436dtx2sin3简谐振动方程)(2)(21202202xxvv)sind(122axxax利用得此时不能直接分离变量!例4.一质点从静止出发作圆周运动,半径R=3.0m,切向加速度问:(1)速度与时间的关系?2sm03a解(1)3dtdvatvtv00d3d)sm(31tv(2)145tg0aan3aan33)3(22tRvan)s(1t(3)10dd0tvsssS213neeana(2)经过多长时间,其加速度与由圆心至质点的矢径方向成1350角?a0135045stsvdd10d3tt351RS)rad(50)m(51(3)在上述时间内,质点所经历的路程和角位移各为多少?3etv例5.一质点从坐标原点以恒定的速率作平面运动,速度的方向与x轴的夹角为1ms3vrad2t解:用分量式tvvx2costvvy2sinttvxtxd2cosd00)3(2sin62sin2ttvxttvytyd2sind00tvy2cos2由(1):由(2)::)4()3(22轨迹方程。圆心在处,半径为的xy平面上的圆)m(6y)m(6求:轨迹方程)4(62cos6t222)6()6(yxxyv2t0yx)1(ddtx)2(ddtyt0例6.用气枪瞄准挂在高处的靶,当子弹以离开枪口时,靶由解扣机械释放而自由下落,不论子弹的初速率多大,总会击中下落的靶。求击中的时刻toPvXOopvoTrT已知:oToprv,ga20021tatvrr解:子弹与靶的加速度都是常矢量对子弹:20210tgtvrpp20210tgrrTTTprr若击中,则Tprtv00Tprtv00PTvrt00注意:10矢量除法无意义20此命题成立的条件是靶的坐标gvxop2sin2对靶:求:t动画动画(四)相对运动BC飞船月球地球AACrABrBCrBCABACrrr对t求导trtrtrBCABACddddddBCABACvvv牵连相对绝对vvv(1)脚标意义。(2)绝对速度:物体相对静止参考系速度。相对速度:物体相对运动参考系速度。牵连速度:运动参考系相对静止参考系速度。(3)隐含各参考系中的尺和钟一样。再对t求导BCABACaaa速度变换式加速度变换式注意:矢量叠加。第二章牛顿运动定律知识结构牛顿三定律动量定理动量守恒角动量守恒机械能守恒角动量定理动能定理力的时间累积效应力矩的时间累积效应力的空间累积效应(一)牛顿第二定律的说明:1、tPFdd合tvmd)(damtvmddvtmtvmdddd低速(m不变)高速(m变)(经典力学)(相对论力学)注意:(1)瞬时性。(2)矢量性。常用分量式xxmaFyymaFzzmaF(3)惯性系中成立。(如地球、太阳参考系)相对惯性系静止或作匀速直线运动的参考系也是惯性系相对惯性系作加速运动的参考系是非惯性系牛顿定律成立的参考系是惯性系2、为变力,则为一微分方程。合FamF合)(tF)(vF)(rF牛顿第二定律在惯性系的应用常用步骤:定对象看运动查受力列方程建坐标作讨论质量为的航天飞机降落时着地速度大小为,方向与地面平行,飞机与地面间的摩擦系数为,迎面空气阻力大小为,升力大小为(是飞机滑行速度,、为常数)。求:飞机滑行的距离。m0v21vc22vcv1c2cvxygmNF1f2f解:分析受力由xxmaFyymaF0t0x00xvv0vy得tvmNvcdd210mgNvc2222vcmgN代入得tvmmgvcvcdd2122xvmvdd分离变量积分021200)(ddvxmgvccvmvx201212)(ln)(2vccmgmgccmx距离例1:有一长为R的细绳,一端固定在O点,另一端系一质量为m的小球。今使小球在铅直平面内绕O点作圆周运动。小球的角位置从绳铅直下垂处算起。当=0时,小球的速度为v0。求:在任意角度处小球的速度v和绳的张力T。解:小球受到重力mg和绳的拉力T作用,根据牛顿第二定律列出法向和切向的方程:2cos(1)vTmgmRddsin(2)vmgmtdddddd()RSvRttt又代入(2)式并积分:dd00sinvvvvgRvRtdd例2:0vgmTmORs220cos22vvgRgR可得202cos2vgRvgR代入(1)式得203cos2(3)mvTmgmgR小球恰可通过最高点时:0T,代入(3)式,得05vgR这是使小球恰可完成圆周运动所需的最小初速度。0vgmTmORs3、非惯性系中的力学方程惯性力非惯性系中,物体除了受到由相互作用产生的力(牛顿力)外,还受到由非惯性系加速引起的附加力称惯性力。'amRF惯性力牛顿力物体相对于非惯性系的加速度下面只介绍加速平动参考系中惯性力的形式:R0amR惯性力加速平动参考系相对于惯性系的加速度0am0F0球a0amR惯性力没问题!m0a怎么办?例3、一光滑的劈,质量为M,斜面倾角为,并位于光滑的水平面上,另一质量为m的小块物体,沿劈的斜面无摩擦地滑下,求劈对地的加速度。解:研究对象:m、MMm1a以劈为参照系,建立坐标如图。,x,yx设M对地的加速度1aymg1N1RMg2N'1N1a受力分析:如图2a2am对M的加速度2R2a运动方程:对m:cossin:1,Rmgx)1(ma2sincos:11,RNmgy)2(0对M:2'1sin:RNx)3(01Ma)4(0cos:'12MgNNym对MM对M,x,ymg1N1R2axyMg2N'1N1a2R(将动力学问题化作静力学问题处理达朗贝尔原理),1'1NN将1R,1ma2R1Ma代入(2)(3)sincos11mamgN11sinMaNgmMma21sincossinM对地附:将上式代入(1)得gmMmMa22sinsin)(m对M:m对地:21aaa1R1R2R问:惯性力是虚拟的力还是真实的力?有争论!力的定义(1)力是物体间的相互作用。(2)力使物体运动状态发生变化。引力作用与惯性力作用等效。爱因斯坦广义相对论建立基础之一等效原理:匀加速运动的非惯性系等效于一个均匀恒定的引力场。gm地面引力ga太空中gm(1)利用加速系统人造一个引力场。(2)利用加速系统抵消一个引力场。可知:ggmgmR失重地面惯性力作业:2—T1,T2,T3
本文标题:力学22011
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