知识讲解_解三角形应用举例_提高

解三角形应用举例【学习目标】1.能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；2.提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；3.掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.【学习策略】解斜三角形的知识主要用于测量及航海两大类型问题.实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，再确定是哪类解三角形问题，即应用哪个定理来解决.【要点梳理】要点一、解三角形应用题的步骤解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；(3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.要点二、解三角形应用题的基本思路实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解要点三、实际问题中的一些名词、术语仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。方位角与方向角：方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0°～360°。如图，点B的方位角是0135。方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。如图为南偏西060方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转060）；如图为北偏东030方向（指从正北开始向正东方向旋转030）.东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；要点四、解三角形应用中的常见题型正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：1.测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.2.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.3.测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高【典型例题】类型一：距离问题例1．如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD的长(结果精确到0.01米)．【答案】(1)28.28米.(2)26.93米.【思路点拨】(1)这是一道关于求两点之间的距离问题。题目条件告诉了边AC、CB的长以及以A、C为顶点的两个角，根据正切函数的定义及性质得到一个关于x的不等式，解之得到CD的长度。（2）根据三角形的内角和定理和正弦定理，解得CD的长。【解析】(1)设CD的长为x米，则tanα＝35x，tanβ＝80x，∵220παβ，∴tanα≥tan2β，∴ββα2tan1tan2tan，即2264001606400180235xxxxx，解得28.282200x0，即CD的长至多为28.28米．(2)设DB＝a，DA＝b，CD＝m，则∠ADB＝180°－α－β＝123.43°，由正弦定理得ADBsinABsinαa，即06.8543.123sin12.38sin115a，∴93.2645.18cos1608022aam，答：CD的长为26.93米．【总结升华】1.此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.2.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。3.在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。举一反三：【变式1】如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝100m，则山高MN＝m．【答案】△ABC中，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100，∴AC＝45sin100＝1002．△AMC中，∵∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，∴∠AMC＝45°，由正弦定理可得AMCsinACACMsinAM，即45sin210060sinAM＝，解得AM＝1003．Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠MAN＝1003×sin60°＝150(m)，故答案为：150．【变式2】为了开凿隧道，要测量隧道上D、E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如图，测得CA=400m，CB=600m，∠ACB=60°，又测得A、B两点到隧道口的距离AD=80m，BE=40m(A、D、E、B在一条直线上)，计算隧道DE的长.【答案】在△ABC中，CA=400m，CB=600m，∠ACB=60°，由余弦定理得2222cos60ABACBCACBC∴22140060024006002007529.2()2ABm∴409.2()DEABADBEm答：隧道长约为409.2m.【变式3】（2016春邢台校级期中）张晓华同学骑电动自行车以24km／h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．22kmB．32kmC．33kmD．23km【答案】如图，由已知可得，1524660AB在△ABS中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°－75°=105°，∠ASB=45°由正弦定理可得sin30sin45BSAB16sin30232sin4522ABBS故选B类型二：测量高度问题【高清课堂：解三角形应用举例377493例2】例2某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔高.【思路点拨】画出空间图形后，先寻找可解的三角形，进而解目标所在三角形。【解析】由上图所示，过B做BECD于点E,由题意知在E点测得塔的最大仰角030，在00CD=40,BCD=30,135BCDDBC中，.由正弦定理，得,sinsinCDBDDBCBCD∴0040sin30202sin135BD在RtBED中，00001801353015BDE∴062sin1520210(31)4BEBD在RtABE中，030,AEB∴010tan30(33)3ABBE（米）故所求塔高为10(33)3米【总结升华】测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，在依条件结合正弦定理和余弦定理来解，解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要注意它们的区别与联系.举一反三：【变式1】（2016绵阳校级模拟）如图，无人机在离地面高200m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN=60°，则山的高度MN为________m。【答案】在Rt△ABC中，∠ACB=∠DAC=45°，∠ABC=90°，AB=200，∴2002AC，∵∠MCN=60°，∴∠ACM=180°－∠MCN－∠ACN=75°，∵∠MAC=15°+45°=60°，∴∠AMC=180°－∠MAC－∠ACM=45°。在△MAC中，由正弦定理得sinsinMCACMACAMC，即20023222MC解得2003MC。∵3sin2MNMCNMC，∴33002MNMC。故答案为：300。【变式2】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。【答案】所求角15，建筑物高度为15m。类型三：方位角问题例3如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在西偏北030的方向上,行驶82km后到达B处,测得此山顶在西偏北075的方向上,仰角为015,求此山的高度CD.【思路点拨】欲求出CD，只需在BCD中求出BD或BC，而在BCD中先求BC边比较适合；或设CD=x,列方程解答.【解析】方法一：在ABC中,030CAB，000753045ACB，82ABkm,根据正弦定理：ABCsin=CABsin,有00sin82sin308sinsin45ABCABBCACB，∴00tantan158tan151683()CDCBDBCCBkm.方法二：设CD=x，则0(23)tantan15CDCDCBxDBC，根据正弦定理：ABCsin=CABsin,有00sin82sin308sinsin45ABCABBCACB，∴(23)8x，解得1683()xkm，即1683()CDkm.【总结升华】正确地画出其空间示意图是解题的关键.举一反三：【变式1】两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏西30，灯塔B在观察站C南偏西60，则A、B之间的距离为；【答案】2kma；如图，ACBCa，0000180306090ACB，2kmABa。【变式2】如图示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A.akmB.3akmC.2akmD.2akm【答案】B类型四：航海问题【高清课堂：解三角形的应用举例377493例3】例4如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为(31)km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2km的C处的缉私船奉命以103km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.【思路点拨】这里必须弄清楚三个概念：(1)方位角；(2)沿什么方向追，即按什么方位角航行；(3)最快追上，即应理解为按直线航行，且两船所用时间相等，画出示意图，即可求出CD的方位角及由C到D所需航行的时间.【解析】设缉私船追上走私船需th，则103CDt，10BDt.由余弦定理，得222cosBCABACABACBAC82322(31)cos(4575)6()km，由正弦定理，得sin1202sin2ACABCBC，∴45ABC，而120CBD，∴sin10sin1201sin2103BDCBDtBCDCDt∴30BCD，30BDC.∴6()BDBCkm，即106t，∴6