沪科版15.4.1角的平分线

15.4角的平分线生活中有很多数学问题：小明家居住在一栋居民楼的一楼，刚好位于一条自来水管和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与自来水管道和天然气管道相连.问题1：怎样修建管道最短？问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看看..P自来水天然气探索角平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。OB什么叫做角平分线？c不利用工具，请你将一张用纸片做的分成两个相等的角。你有什么办法？AOBC活动1再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？（对折）折叠法你有哪些方法可以找到角平分线？一、探索作已知角的平分线的方法•度量法•可以用量角器来画一个角的平分线一、探索作已知角的平分线的方法CAOB工人师傅常用如图所示的简易角平分仪（有两对边相等），来画角的平分线.将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线.你能说明它的道理吗?活动2ADBCE探索作已知角的平分线的方法证明：在△ACD和△ACB中ADBCE探索作已知角的平分线的方法AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCE活动3NOMCENM角平分线的画法：（２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．（3）作射线OC，则射线OC即为所要求的∠AOB的角平分线.你也来试一试！ABOMNC(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．探索作已知角的平分线的方法想一想：为什么OC是角平分线呢？已知：OM=ON，MC=NC.求证：OC平分∠AOB.证明：连接CM，CNABMNCO探索作已知角的平分线的方法在△OMC和△ONC中，OM=ON，MC=NC，OC=OC，∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC即：OC平分∠AOB想一想：你会平分一个平角吗？此时它的角平分线和角的一边有什么关系？活动41〉平分平角∠AOB2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。活动4ABOCD•老师：大家拿出之前折叠的角，再折叠一次使探究角平分线的性质(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活动5(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.•你能写出你猜想的题设和结论，并能证明你的猜想吗？探究角平分线的性质证明：∵OC平分∠AOB（已知）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE活动5(3)验证猜想:探究角平分线的性质∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∠PDO=∠（已证）∠1=∠2已证）OP=OP（公共边）∴△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）角平分线上的点到角两边的距离相等。活动5判断正误，并说明理由：（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.AOBPEFAOBPEF图2图3AOBPE图1（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.4.实践与应用运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题：问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？.P自来水天然气例题讲解例1如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：EB=FC.AFCDBE变题1：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD=DF，求证：CF=EB.变题2：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求DE.AFCDBEACDBE1)评价反思a.这节课你有哪些收获，还有什么困惑？b.通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？c.完成课内反馈练习.5.小结与作业