2-线性系统的运动分析讲解

1第二章线性系统的状态空间响应分析第一节线性定常连续系统状态空间的响应分析第二节系统状态转移矩阵的性质及其计算第三节线性离散系统的状态空间响应分析2系统分析，包含“定量分析”和“定性分析”两个方面。定量分析主要是对系统的运动规律及过程进行准确的计算及研究；定性分析则着重对决定系统的一些重要特性，例如系统的稳定性、能控能观性等进行分析和研究。本章涉及系统的定量分析，定性分析则分别在第三章和第四章进行讨论。系统的状态空间响应分析，就是在己知系统的状态空间描述基础上，定量地分析和研究系统在初始状态和外输入作用下的运动规律和基本特性。第一章指出，系统的状态空间描述包含“状态分程”和“输出分程”，所以，状态空间响应分析，从数学角度看就是对这两个方程式进行求解，并分析解的性质。第一节线性定常连续系统状态空间的响应分析3单输入—单输出线性定常连续系统，状态空间描述的一般形式为xAxbuycx(2-1)xc从式(2-1)可知，要求系统的输出响应，先要求出状态响应。即要先对状态方程进行求解，求出状态的解后，代入输出方程中便是己知的，求出状态解后只要通过向量乘法，就可得到系统输出响应。由于输出向量容易求得系统输出y，所以，主要涉及到求解状态方程的问题。4一、状态方程的求解状态方程，是描述系统状态运动过程的一阶微分方程组。状态方程的解，本质上是反映系统在初始状态值(0)x和外输入u的共同作用下，系统状态响应的过程及其基本特性。(0)xu其中，由初始状态值引起的状态响应，常称为系统。的自由运动；由外输入引起的状态响应，常称为系统的强迫运动。系统的自由运动，相对应的是齐次状态方程的解。下面先讨论齐次状态方程的求解问题。1.齐次状态方程的求解齐次状态方程，也常称为系统的自治方程，是式（2-1）的状态方程中，0u当输入作用时的状态方程，即xAx(2-2)5求解式（2-2）常用两种方法，即矩阵指数法和拉氏变换法，分述如下：方法一矩阵指数法0t()xt(0)x结论设初始时刻为，则式(2-2)的唯一确定()(0)Atxtex解是0t(2-3)()xtt证明设式(2-2)的解具有的向量幂级数形式，即2012()......kkxtbbtbtbt(2-4)1bkbn，，…均为维向量。两边对求导数，有()xt0bt式(2-4)中，，，112()2......kkxtbbtkbt(2-5)6将式(2-4)和式(2-5)代入式(2-2)等号两边，得12120122......(......)kkkkbbtkbtAbbtbtbt(2-6)令式(2-6)等号两边t的同次幂项的系数相等，有10bAb22101122!bAbAb…，1011!kkkbAbAbkk（2-7）将0t代入式(2-4)，可得0(0)xb(2-8)将式(2-7)，式(2-8)代入式(2-4)，可得齐次状态方程的解2211()(......)(0)2!!kkxtIAtAtAtxknnate上式等号右边括号内的展开式是()维矩阵。由于其展开式从形式7上类似于纯量指数的无穷级数，故又称它为矩阵指数，并记为2233111......2!3!!kkAtIAtAtAtAtek这样，用矩阵指数表示齐次状态方程的解时，写成为()(0)Atxtex证毕。)(e)(0)(A0txtxtt0t若初始时刻则8例2-1己知齐次状态方程01()()23xtxt系统的初始状态值为(0)x，求状态响应。解先求Ate2311...2!3!AteIAtAtAt23231001010111...012323232!3!ttt23232323371...,...2677523...,13...322ttttttttttt9所以()(0)Atxtex23232323371...,...26(0)77523...,13...322tttttxtttttt10方法二拉氏变换法0t()xt(0)x结论设初始时刻从开始，状态初始值为，则式(2-2)的唯一解为11()()(0)xtLsIAx0t(2-11)证明对式（2-2）两边取拉氏变换()(0)()sXsXAXs整理上式()()(0)sIAXsX若1()sIA逆阵存在，则有1()()(0)XssIAX11对上式进行拉氏反变换11()()(0)xtLsIAx证毕。例2-2已知系统的初始状态值为(0)x，求齐次状态方程1001xx的解。12解先求()sIA01010()00101sssIAss再求1()sIA1100111001)(11ssssAsI对上式拉氏反变换并代入式(2-11)，齐次状态方程的解为0(0)0ttexxe13对比两种方法的状态解()xt，Ate11()LsIA公式(2-3)中含矩阵指数项，项。公式(2-11)中含矩阵对于同一系统在相同的初始条件下，其解是相同的，于是必有11()AteLsIA式（2-12）也可从矩阵理论得到证明，这里从略。（2-12）公式(2-3)和(2-11)的物理上的含义是，矩阵指数Ate和矩阵11()LsIA一样，都是用来描述系统的状态向量()xt，由t=0时刻向任一时刻t作状态转移的矩阵，换言之，系统在任意t时刻的状态()xt，Ate11()LsIA可看成是初始状态x(0)经或变换及转移的结果，故又称它们为状态转移矩阵。14由于状态转移矩阵中每个元都是时间t的函数，因此，常用符号()t表示，即11()()AtteLsIA（2-13）于是，当齐次状态方程解的表达式用状态转移矩阵表示时，为0t时()()(0)xttx0t时00()()()xtttxt可见，系统的自由运动除了初始状态值外，完全由状态转移矩阵唯一决定，因此，它包含了系统自由运动的全部信息。15由于线性定常系统的分析结果和初始时间的选取无关，不失一般性，以后0t开始。的讨论均认为初始时刻从2.非齐次状态方程的求解(0)xu非齐次状态方程，是同时考虑初始状态和外输入共同作用下状态运动的表达式，也就是式(2-1)中的状态方程式，即xAxbu求解也有两种主要方法，一是普通方法，二是拉氏变换方法。16方法一普通方法0t(0)x结论设系统初始时刻，状态初值为，则状态方程的唯一确定解为()0()(0)()tAtAtxtexebutd0t(2-14)证明将非齐次状态方程式改写为()()()xtAxtbut上式等号两边左乘Ate()()AtAtextAxtebut17并写成()AtAtdextebutdt两边积分00()ttAtAtdextebut即有0()(0)()tAtAtextxebutd(0)xAte将移至等号右边，并在等号两边左乘有()0()(0)()tAtAtxtexebutd证毕。18方法2拉氏变换方法0t(0)x设系统初始时刻，状态初值为，则非齐次状态方程的唯一确定解为1111()()(0)()()xtLsIAxLsIAbUs(2-15)证明对非齐次状态方程式两边取拉氏变换()(0)()()sXsxAxtbUs移项及合并()()(0)()sIAXsxbUs若1()sIA逆阵存在，则有11()()(0)()()XssIAxsIAbUs19对上式两边取拉氏反变换1111()()(0)()()xtLsIAxLsIAbUs证毕。若解用状态转移矩表示，式（2—14）和（2-15）统一表示为0()(0)(0)()()txtxtbud0t（2-16）非齐次状态方程解表明：其解由两部分组成，一部分是齐次状态方程的解，由初始状态引起的，常称它为系统状态的自由运动或称为零输入响应，始状态和系统本身的结构有关；另一部分则与输入作用和结构特性有关，常称它它只与初20为系统的强迫运动。状态方程解的物理上含义是，第一项是初始状态的转移项，第二项是控制输入作用下的受控项。表明了只要有受控项的存在，就有可能通过选取合适的控制使系统状态的运动轨线满足期望的要求，从而为改善系统的动态性能提供了可能性。uxxxx103210212101)0(x求单位阶跃输入作用下的状态响应。例设定常系统的齐次状态方程为21解用拉氏变换方法求解001102323sssIAss13131(1))2)(1)(2)1()22(1)(2)(1)(2)(1)(2)sssssssIAssssssss反拉氏变换ttttttttAsIL22221e2ee2e2eeee2)(22因此，系统对单位阶跃输入的状态响应为1111()()(0)()()xtLsIAxLsIAbUs)0()0(e2ee2e2eeee2212222xxtttttttt()2()()2()()2()()2()0021()1222ttttttttteeeedeeee23)0()0(e2ee2e2eeee2212222xxtttttttt221122tttteeee若初始状态为零，(0)0x，则单位阶跃输入下的状态响应，即系统的强迫运动为2211()22tttteextee24二．系统输出方程的求解求出状态解后，代入输出方程()xt()()ytcxt由于c是己知的，只要做简单的向量乘法的运算，就容易求得系统输出()yt的响应。例2-4线性定常系统的状态空间表达式为uxxxx103210212112()10xytx25试求系统在初始状态为零时，单位阶跃输入下系统的输出响应。解由例2-3的计算可知，系统在单位阶跃输入下的状态解为)0()0(e2ee2e2eeee2)(212222xxtxtttttttt221122tttteeee初始状态为零时，状态解为2211()22tttteextee把状态解代入输出方程，输出响应为12()10xytx21122ttee系统输出只与系统状态1x有关，输出响应是稳定的。26三.典型输入信号作用下的系统响应在阶跃、斜波、脉冲典型输入信号作用下，系统解的公式如下1.阶跃响应()1()uthth1h为幅值，为单位阶跃输入1()(0)()AtAtxtexAeIbh1()(0)())AtAtytcexAeIbh272.斜波响应()()uthtth1h为幅值，为单位斜波输入21()(0)())AtAtxtexAeIAtbh21()