(2015-2017)三年高考真题专家解读精编解析一专题19 抛物线

1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16B．14C．12D．10【答案】A【解析】试题分析：设11223344(,),(,),(,),(,)AxyBxyDxyExy，直线1l方程为1(1)ykx联立方程214(1)yxykx得2222111240kxkxxk∴21122124kxxk212124kk同理直线2l与抛物线的交点满足22342224kxxk由抛物线定义可知1234||||2ABDExxxxp221222222212121224244416482816kkkkkkkk当且仅当121kk（或1）时，取得等号.【考点】抛物线的简单性质2.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22(p0)ypx上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为()（A）33（B）23（C）22（D）1【答案】C【解析】试题分析：设22,2,,PptptMxy（不妨设0t），则22,2.2pFPptpt由已知得13FMFP，22,2362,3pppxtpty，22,332,3ppxtpty，2211212121222OMtkttt，max22OMk，故选C.考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．3.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22(p0)ypx上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为()（A）33（B）23（C）22（D）1【答案】C【解析】试题分析：设22,2,,PptptMxy（不妨设0t），则22,2.2pFPptpt由已知得13FMFP，22,2362,3pppxtpty，22,332,3ppxtpty，2211212121222OMtkttt，max22OMk，故选C.考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P的坐标，利用向量法求出点M的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k斜率用参数t表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】考点：抛物线的性质。【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.5.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线24yx相交于A，B两点，与圆22250xyrr相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）（A）13，（B）14，（C）23，（D）24，【答案】D【解析】显然当直线l的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l的斜率存在时，设斜率为k.设11221200(,),(,),,(,)AxyBxyxxMxy，则21122244yxyx，相减得121212()()4()yyyyxx.由于12xx，所以12121222yyyyxx，即02ky.圆心为(5,0)C，由CMAB得000001,55ykkyxx，所以0025,3xx，即点M必在直线3x上.将3x代入24yx得2012,2323yy.因为点M在圆22250xyrr上，所以22222000(5),412416xyrry.又2044y（由于斜率不存在，故00y，所以不取等号），所以204416,24yr.选D.xy–1–2–3–4123456789–1–2–3–4–5–6123456ABCFOM利用这个范围即可得到r的取值范围。6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24yx的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是（）A.11BFAFB.2211BFAFC.11BFAFD.2211BFAF【答案】A.【解析】11AFBFxxACBCSSABACFBCF，故选A.【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.7.【2017课标II，理16】已知F是抛物线C:28yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则FN。【答案】6【解析】试题分析：点A，【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。8.【2016高考天津理数】设抛物线222xptypt，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（72p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为32，则p的值为_________.【答案】6【解析】试题分析：抛物线的普通方程为22ypx，(,0)2pF，7322pCFpp，又2CFAF，则32AFp，由抛物线的定义得32ABp，所以Axp，则||2Ayp，由//CFAB得EFCFEAAB，即2EFCFEAAF，所以262CEFCEASS，92ACFAECCFESSS，所以132922pp，6p．考点：抛物线定义【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋p2；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．9.【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．【答案】9【解析】试题分析：1109MMxx考点：抛物线的定义．【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y轴的距离．10.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，12）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.【答案】（Ⅰ）方程为2yx，抛物线C的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x.（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）代入点P求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为12ykx（0k），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为22yyxx，联立求得点B的坐标2112(,)yyxx，证明1211220yyyxx.试题解析：解：（Ⅰ）由抛物线C：22ypx过点P（1，1），得12p.所以抛物线C的方程为2yx.抛物线C的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x.21122112112222yyyyyyxxyxxx122112211()()222kxxkxxxxx122121(22)()2kxxxxx22211(22)42kkkkx0，所以211122yyyxx.故A为线段BM的中点.【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.11.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线:20lxy，抛物线2:y2(0)Cpxp（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2,).pp；②求p的取值范围.【答案】（1）xy82（2）①详见解析，②)34,0(【解析】值范围。（2）设1122(x,y),(x,y)PQ，线段PQ的中点00(x,y)M因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为.yxb①由22ypxyxb消去x得2220(*)ypypb因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以12,yy从而2(2)4(2)0ppb，化简得20pb.方程（*）的两根为21,22ypppb，从而120.2yyyp因为00(x,y)M在直线l上，所以02.xp因此，线段PQ的中点坐标为(2,).pp②因为M(2,).pp在直线yxb上所以(2)bpp，即22.bp由①知20pb，于是2(22)0pp，所以4.3p因此p的取值范围为4(0,).3考点：直线与抛物线位置关系12.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线2xy，点A11()24，，39()24B，，抛物线上的点)2321)(,(xyxP．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PQPA的最大值．【答案】（Ⅰ）)1,1(；（Ⅱ）2716【解析】试题分析：（Ⅰ）由两点求斜率公式可得AP的斜率为21x，由1322x，得AP斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达||PA与||PQ的长度，通过函数3)1)(1()(kkkf求解||||PQPA的最大值．试题解析：（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则2121412xxxk，∵1322x，∴直线AP斜率的取值范围是)1,1(．（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程110,24930,42kxykxkyk解得点Q的横坐标是)1(23422kkkxQ，因为|PA|=211()2kx=)1(12kk|PQ|=1)1)(1()(1222kkkxxkQ，所以|PA