六个常用随机变量的数学期望与方差

几种重要随机变量的数学期望和方差一.二点分布二.二项分布三.泊松分布四.均匀分布五.正态分布六.指数分布一.二点分布X01Pk1-pppXE)(pXE)(2)1()(ppXD若随机变量X服从二点分布，其分布律为：二.二项分布随机变量X~B(n,p),其分布律为：nkppCkXPknkkn,,2,1,)1(}{由二项分布定义可知，X是n重贝努利试验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p，设nkkAkAXk,,2,1,01次不发生在第次发生在第则Xk服从二点分布，其分布律为：X01pk1-pp,)(pXEk)1()(ppXDknXXXX21)(XE)(XD)()()(21nXEXEXEnp)1(pnp)()()(21nXDXDXD)1()()(pnpXDnpXE，若随机变量X~B(n,p),则即：三.泊松分布随机变量，其分布律为：)(~X,,2,1,0,!}{kkekXPkλλ0!)(kkkekXE11)!1(kkkeee22)]([)()(XEXEXD即：λXDλXE)(,)()(2XE])1([XXXE)()]1([XEXXE0!)1(kkkekk222)!2(kkkeee22若随机变量X~π(λ),则四.均匀分布设随机变量X在区间(a,b)上服从均匀分布，其概率密度为,01)(其它bxaabxfdxxxfXE)()(badxabx12baabxab212)(2XEbadxabx12)(333abab322baba22)]([)()(XEXEXD4232222babababa12)(2ab即12)()(,2)(2abXDbaXE若随机变量X~U(a,b),则五.指数分布随机变量X服从参数为θ的指数分布，其概率密度为：0001)(xxeθxfθxdxxxfXE)()(01dxeθxθx0θxdex）（dxeexxx00）（0xeθdxxfxXE)()(22021dxeθxθx02θxdex）（022xedxxeexxx0022）（02θxdexθ）（dxeexxx0022）（，22θ22)]([)()(XEXEXD2θ若随机变量X服从参数为θ的指数分布，则即2)()(θXDθXE，六.正态分布随机变量，其概率密度为：),(~2NXxexfx,21)(222)(dxxxfXE)()(dxexx222)(21（令）xttdett22)(21dtet222})]({[)(2XEXEXDdxexx222)(221)(（令）xttdett22222222)(2tdettdetett22222222222)(,)(σXDμXE即若随机变量X~N（μ,σ2）,则例1.已知求,)3(~X,12XY,)(YE,)(YD)]1(3[2XE解：,)3(~X则,3)(XE3)(XD)()(12XEYE1)(2XE5)()(12XDYD)(4XD12)]1(3[2XE3)(32XE3})]([)({32XEXD33,),(~91NY解：（1）X在区间(1，5)上服从均匀分布,例2.已知X和Y相互独立，且X在区间(1，5)上服从均匀分布，求(1)(X,Y)的联合概率密度;(2),)243(YXE)243(YXD,)9,1(~NY,05141)(其它xxfX,,)()(yeyfyY1812231由X和Y相互独立得：)()(),(yfxfyxfYX其它0,51,212118)1(2yxey)(XE2513)(XD12)15(234,1)(YE9)(YD,),(~91NY,),(~)(512UX)243(YXE2)(4)(3YEXE3)243(YXD)()4()(92YDXD156