§1-2伯努利方程及其应用

第一章流体的运动§1-2伯努利方程及其应用大学物理大学物理主讲教师：杨宏伟第一章流体的运动§1-2伯努利方程及其应用一、伯努利方程伯努利方程是由瑞士物理学家伯努利（D.Bernoulli）提出来的，是理想流体作稳定流动时的基本方程，对于确定流体内部各处的压力和流速都有很大的实际意义,在水利、造船、航空航天等部门有着广泛的应用。第一章流体的运动§1-2伯努利方程及其应用1a在作稳定流动的理想流体中，任取一细流管，在2a两处垂直于流管的截面积分别为1S2S在很短的时间间隔△t内，这一小段流体有了移动。设流体在a1b1处的机械能为△E11121121mghmvE+=∆设流体由向流动，流速大小分别为1v2v1a2a图1—3伯努利方程的推导图1—3伯努利方程的推导1h11sp2h1a22sp1b2a2b第一章流体的运动§1-2伯努利方程及其应用在a2b2处的机械能为△E2222221mghmvE+=∆对于理想流体，由于无粘滞性，不会产生平行于流管侧壁的切应力，流管外的流体对这部分流体的压力必垂直于流管侧表面，因而不作功。作功的仅是作用于a1、a2两处端面的力，作用于a1表面上的外力为p1s1，此力作正功，a1处流体的位移为V1Δt。作用于a2表面上的外力为p2s2，此力作负功，流体的位移为V2Δt。图1—3伯努利方程的推导图1—3伯努利方程的推导1h11sp2h1a22sp1b2a2b整段流体在Δt时间内机械能增量为ΔE=ΔE2-ΔE1，是外力对a1b1间的流体作功的结果。第一章流体的运动§1-2伯努利方程及其应用在Δt时间内，外力对这段流管内流体所作的功为tvSptvSpW∆−∆=222111根据功能原理，外力所作的总功等于机械能的增量，故有W=ΔE即tvSptvSpmghmvmghmv∆−∆=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+2221111212222121根据连续性方程，故单位时间内流过任一截面的体积相等，SvtV=恒量=SvVpVpVghVvVghVv211212222121−=−−+ρρρρ第一章流体的运动§1-2伯努利方程及其应用整理上式，得VpVpVghVvVghVv211212222121−=−−+ρρρρ222212112121ghvpghvpρρρρ++=++由于式中1、2是同一流管内的任意两点，故可略去下标。对于同一流管的任一截面(1-3a)恒量=++ghvpρρ221(1-3b)(1-3)式称为伯努利方程，它表明：对于不可压缩的理想流体作稳定流动，在同一流管内的任一处，每单位体积流体的动能、势能以及该处压强之和是一恒量。第一章流体的运动§1-2伯努利方程及其应用工程应用中常将（1.3）式改写为恒量=++hgvgp22ρ（1.4）压力水头速度水头位置水头三者之和为总水头,它们都具有长度的量纲.这时伯努利方程可表述为:理想流体稳定流动时,在同一流管的任一处，总水头是一常量。第一章流体的运动§1-2伯努利方程及其应用对于水平流管因各处的高度不变，于是伯努利方程为恒量=+gvgp22ρ（1-5）此式表明，水平管道内流速大处压强小，流速小处压强大。这一原理有许多实际的应用。恒量=+25.0vpρ即例1.2水管里的水在压强P=4×105Pa的作用下流入房间，水管的内直径为2.0cm,管内水的流速为4m/s。引入到5m高处二层楼浴室的水管，内直径为1.0cm，试求浴室内水的流速和压强（已知水的密度ρ=1000kg/m3）。第一章流体的运动§1-2伯努利方程及其应用解：由连续性原理知2211vSvS=)/(16412)2/()2/(21221122211212smvddvddvSSv=×⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===ππ由伯努利方程222212112121ghvpghvpρρρρ++=++例1.2水管里的水在压强P=4×105Pa的作用下流入房间，水管内直径为2.0cm,管内水的流速为4m/s。引入到5m高处二层楼浴室的水管，内直径为1.0cm，试求浴室内水的流速和压强（已知水的密度ρ=1000kg/m3）。)()(5.012212212hhgvvpp−−−×−=ρρ)(1031.25Pa×=所以第一章流体的运动§1-2伯努利方程及其应用二、伯努利方程的应用（一）范丘里流量计如图1—4所示为范丘里流量计，它是由一根中间细两头粗的主管,以及在粗管部分及狭窄部分各装一根竖直的细管组成，使用时将主管水平放置。应用伯努利方程(1-5),有2222115.05.0vpvpρρ+=+2121vSSv=由连续性原理,得图1—4范丘里管图1—4范丘里管H主管细管1v2v第一章流体的运动§1-2伯努利方程及其应用代入上式得到)()(222212112SSppSv−−=ρ压强差可由两竖管中液面的高度差算出，ghppρ=−212221122SSghSv−=体积流量222121222SSghSSSvQV−==上式中，只要读出两根竖管中液面的高度差h,就可以测定出流体的体积流量。图1—4范丘里管图1—4范丘里管H主管细管1v2v第一章流体的运动§1-2伯努利方程及其应用例1.3如图1—5所示,液槽内离开液面h处开一小孔。液体密度为ρ,液面上方是空气,它被液槽盖封闭住,其绝对压强为p,在液槽侧面小孔处的压强为大气压强p0。当pp0时,试证明小孔处的液流速度为：ρ)(202ppv−=图1—5小孔流速图1—5小孔流速p1Sρh20sp第一章流体的运动§1-2伯努利方程及其应用例1.3如图1—5所示,液槽内离开液面h处开一小孔。液体密度为ρ,液面上方是空气,它被液槽盖封闭住,其绝对压强为p,在液槽侧面小孔处的压强为大气压强p0。当pp0时,试证明小孔处的液流速度为：ρ/)(202ppv−=解:将整个流体当作一个流管,用21vv和分别表示水面处和且因为S1S2,故可以近似地取孔口处的流速。由连续性方程知1212vSSv=12vv01=v设小孔处的高度为零,则水面处的高度为h。又由于孔口与大气相接触，故孔口处压强等于大气压强，对点1和点2应用伯努利方程,则有第一章流体的运动§1-2伯努利方程及其应用205.0vpghpρρ×+=+ghppv2)(2022+−=ρ(1-8)得(1-8)式中称为计示压强，在的条件下，2gh与2(p-p0)/ρ相比非常小,可忽略不计,于是(1-8)式可简化为0pp−0ppρ)(202ppv−=（1-9）若液槽上方不封闭，则0pp=，（1-9）式可改写为ghv22=（1-10）上式叫做托里拆利公式，它表明任何液体质点从小孔中流出的速度与它从h高度处自由落下的速度相等。第一章流体的运动§1-2伯努利方程及其应用（二）水流抽气机、喷雾器如图1—6所示，粗细不均匀的水平玻璃管AB的细窄处连接一根细管CD。使CD管的下端插在盛有溶液的容器E里。设流体在A处的流速、截面、压强分别为111、p、Sv流体在C处的流速、截面、压强分别为将整个管子作流管，由连续性方程以及伯努利方程(1-5)2211vSvS=恒量=+25.0vpρ222、p、Sv图1—6空吸作用图1—6空吸作用AEBCD第一章流体的运动§1-2伯努利方程及其应用由于21SS故12vv2v达到一定数值时，当流速细窄管C处压强2p将小于大气压强0p容器E的溶液便沿着CD管上升。我们将流体流速增大时压强减小，从而产生对周围气体或液体的吸入作用称为空吸作用。空吸作用的应用很广，水流抽气机就是根据上述空吸作用的原理设计的，如图1—7。图1—8小型喷雾器图1—8小型喷雾器图1—7水流抽水机图1—7水流抽水机空气水水和空气活塞喷嘴竖直管第一章流体的运动§1-2伯努利方程及其应用想一想现实生活中哪些地方有应用