达朗贝尔公式

1第七章数学物理方程及其定解问题1.数学物理方程的导出2.定解条件3.数学物理方程的分类4.达朗贝尔公式定解问题23.数学物理方程的分类0111fcuubuanixixxnjniijiji1(,,)nuuxx若,如果方程可以表为:1.基本概念a.二阶偏微分方程:,即方程中偏导数的阶数是2次的,则称为二阶偏微分方程b.二阶线性偏微分方程:若其中的系数只是自变量的函数，即只是的函数，则称为是线性的方程,,,ijiabcf1,,nxx3c.齐次二阶线性偏微分方程:若则称方程是齐次的0f2.叠加原理当泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作几个部分的解的线性叠加.47.4达朗贝尔公式定解问题1.无限长的自由振动2.端点的反射半无限长弦的自由振动半无限长杆的自由振动3.定解问题的整体性(除上述两种类型外的数学物理方程)4.定解问题的适定性满足达朗贝尔公式延拓,利用达朗贝尔公式5一.无界弦的自由振动1.无界弦的自由振动(1)无界弦的含义：无界弦不是指无限长的弦，是指所关心的那一段弦远离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来不及传到这段弦上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦的两端提出边界条件。定解问题初值问题(2)自由振动：弦不受强迫力的作用，振动是自由的方程是齐次的6定解问题：20(,0)()(,0)()ttxxtuauuxxuxx()()xx2.求无界弦的自由振动方程⑴求偏微分方程的通解分析范定方程的形式,为表示的简化对称做变量代换:atxatx,)()(21atxfatxfu得方程的通解通解的物理意义:正行波,反行波2()fxat2()fxat7利用定解条件来确定函数⑵12(),()fxfx由初始条件得1212(,0)()()()(,0)()()()tuxfxfxxuxafxafxx解得001102021020111()()()d[()()]222111()()()d[()()]222xxxxfxxfxfxafxxfxfxa11(,)[()()]()d22xatxatuxtxatxata——达朗贝尔公式8例一.求解初值问题20(,0)cos(,0)2ttxxtuauuxxux9讨论：达朗贝尔解的物理意义I.只有初始位移时:代表以速度a沿x轴正向传播的波代表以速度a沿x轴负向传播的波1(,)[()()]2uxtxatxat1()2xat1()2xatII.只有初始速度时：1(,)()2xatxatuxtda(,)()()()()uxtxxatxxat1()()2xxda令,则结论：达朗贝尔解表示沿x轴正、反向传播的两列波的叠加。10练习:初位移34sin7()()770()xxx其余11二.端点的反射1.半无界弦的自由振动20,(0)(,0)(),(0)(,0)(),(0)(0,)0ttxxtuauxuxxxuxxxut　半无界的弦只有一个端点,设端点在坐标原点定解问题:分析:端点固定。不能直接应用达朗贝尔公式，扩大定义，考虑端点固定，作奇延拓)0)(()0)(()(,)0)(()0)(()(xxxxxxxxxx12由达朗贝尔公式得到解，其中x≥0的部分即所讨论问题的解。atxxatatxatxaxtdaxatatxaxtdaatxatxu);/()(21)]()([21);/()(21)]()([21　　　　13在初速为0的情况下，如右图所示右半边实线:左右两方向移动的波左半边细线:其奇延拓端点的影响表现为反射波反射波的相位跟入射波相反,形成半波损失142.半无限长杆的自由振动杆的端点自由20,(0)(,0)(),(0)(,0)(),(0)(0,)0ttxxtxuauxuxxxuxxxut　定解问题:分析:端点自由。不能直接应用达朗贝尔公式，扩大定义，考虑端点自由，作偶延拓()(0)()(0)(),()()(0)()(0)xxxxxxxxxx15由达朗贝尔公式得到解，其中x≥0的部分即所讨论问题的解。001[()()]21()(/);21[()()]211()()(/);22xatxatxatatxxatxatdtxaauxatatxddtxaaa　　　　16三.一般情况下的数学物理方程一般情况下，无法像对无限长弦那样，先求通解，然后用定解条件求特解。定解问题的整体性物理问题数学问题定解问题是一个整体四.定解问题的适定性如定解问题满足(1)有解(2)解是唯一的(3)解是稳定的则称此定解问题是适定的。因为定解问题来自实际。17作业:P179,1.,5.