同济大学概率论期末考题及答案

备用数据：,0228.19)9(,7004.2)9(,2622.2)9(2975.02025.0975.0===χχt.9878.0)25.2(=Φ一、填空题(18分)1、已知随机事件BA,满足7.0)(,3.0)(==APBAP，则=)(ABP，=∪)(BAP.2、设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，现从中随机地取出一件，结果发现取到的这件不是三等品，在此条件下取到的这件产品是一等品的概率为，在此条件下取到的这件产品是二等品的概率为.3、设521,XXX独立且服从相同的分布，()1,0~1NX.()()2542321XXXXXcY+++=.当常数c=时,Y服从自由度为的F分布.二、(12分)两台机床加工同样的零件，第一机床加工的零件的不合格品率为5%，第二台机床加工的零件的不合格品率为8%.加工出来的零件放在一起,已知第一台机床加工的零件数量是第二台机床加工零件数量的两倍.现从两台机床加工的零件中随机地抽取了一个零件.(1)求抽到的这个零件是合格品的概率；(2)若已知抽到的这个零件是不合格品，求它是由第二台机床加工的概率.三、(16分)设随机变量),(21XX的联合概率函数为1X2X01200.250.100.3010.150.150.05定义随机变量),max(21XXZ=.求(1)1X和2X的边缘概率函数；(2)Z的概率函数；(3)),(1ZX的联合概率函数；(4))(ZE，)(ZD和),cov(1ZX.四、(16分)设随机变量(,)XY的联合密度函数为()−+=其它,010,45),(22xyyxyxf(1)分别求,XY的边缘密度函数；(2)试问：,XY是否相互独立？请说明理由.(3)求概率()1PXY+≥.五、(12分)假定某电视节目在上海市的收视率为20%，有调查公司准备在上海市随机调查8100户居民家庭，记X为被调查的8100户居民家庭中收看该电视节目的户数.(1)用中心极限定理求概率≤−01.020.08100XP的近似值；(2)如果调查完成后发现8100户居民家庭中有1458户收看该电视节目，问：你会相信该电视节目在上海市的收视率为20%吗？请说明理由.六、(14分)设某种材料的抗压强度X服从正态分布2(,)Nµσ，现对10个试验件做抗压试验，得到试验数据1021,,,xxx(单位：公斤/2m)，并由此算出2124100,46001012101==∑∑==iiiixx.分别求µ和σ的置信水平0.95的双侧置信区间.七、(12分)设nXXX21,是取自总体X的简单随机样本.总体X服从正态分布2(,)Nµσ，其中2,σµ均未知.记)(2XE=θ.(1)分别写出2,σµ的极大似然估计量；(2)求θ的极大似然估计量θˆ；(3)问：θ的极大似然估计量θˆ是否为θ的无偏估计？请说明理由.备用数据：()()()220.990.9950.9950.0050.9952.326,992.575,9966.510,99138.987.tµµχχ=≈===一、选择题(20分)1、下列结论哪一个不正确（）()A设A,B为任意两个事件，则;ABAB−=()B若,AB=则A,B同时发生或A,B同时不发生；()C若,AB⊂且,BA⊂则;AB=()D若,AB⊂则A-B是不可能事件.2、设(),XY的联合概率函数为XY012300.1250.250.1250100.1250.250.125则（1）()13,0PYX≤≥等于（）()A5;8()1;2B()3;4C()7.8D（2）ZXY=+的概率函数为()AZ01234概率0.1250.3750.250.1250.125()BZ1234概率0.3750.250.250.125()CZ1234概率0.1250.250.250.375()DZ01234概率0.1250.250.250.250.1253、如果22,,EYEX∞∞且X与Y满足()(),DXYDXY+=−则必有（）()AX与Y独立；()BX与Y不相关；()()0CDY=；()()()0.DDXDY=4、若()()25,36,DXDY==X与Y的相关系数(),0.4,XYρ=则,XY的协方差(),CovXY等于（）()5;A()10;B()12;C()36.D二、(12分)设X,Y为随机变量，且()30,0,7PXY≥≥=()()4007PXPY≥=≥=求（1）()()min,0;PXY（2）()()max,0.PXY≥三、（10分）一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭击和抢劫，他断言凶犯是黑人。然而，当调查这一案件的警察在可比较的光照条件下多次重新展现现场情况时，发现受害者正确识别袭击者肤色的概率只有80%，假定凶犯是本地人，而在这个城市人口中90%是白人，10%是黑人，且假定白人和黑人的犯罪率相同，（1）问：在这位男子断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的凶犯确实是黑人的概率是多大？（2）问：在这位男子断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的凶犯是白人的概率是多大？四、（10分）某商业中心有甲、乙两家影城，假设现有1600位观众去这个商业中心的影城看电影，每位观众随机地选择这两家影城中的一家，且各位观众选择哪家影城是相互独立的。问：影城甲至少应该设多少个座位，才能保证因缺少座位而使观众离影城甲而去的概率小于0.01.（要求用中心极限定理求解）五、(16分)设随机变量(,)XY的联合密度函数为2,01(,)0,xyfxy=其它(1)分别求,XY的边缘密度函数；（2）求1130;224PXY(3)试问：,XY是否相互独立？请说明理由.(3)求ZXY=+的概率密度函数().Zfz六、(14分)某地交通管理部门随机调查了100辆卡车，得到它们在最近的一年的行驶里程（单位：100km）的数据1100,,,xx有数据算出145,24.xs==假设卡车一年行驶里程服从正态分布()2,,Nµσ分别求µ和2σ的置信水平0.99的双侧置信区间.七、(18分)设nXXX21,是取自总体X的简单随机样本.总体X的密度函数为()()1,;0,exxefxθθθθθθ−+=，其中为未知参数，01.其它(1)求θ的极大似然估计θˆ；(2)记1,αθ=求参数α的极大似然估计；（3）问：在（2）中求得的α的极大似然估计是否为α的无偏估计？请说明理由。备用数据：(1.11)0.8665,(2)0.9772Φ=Φ=,.95.0)645.1(=Φ220.9750.0250.975(8)2.31,(8)2.18,(8)17.50tχχ===一、填空题(共12分)1、在区间(0,1)中随机取出两个实数YX,，记{}5,6AXYBXY===+，则()AP=,()BP=.2、设随机变量X和Y相互独立，填写下表:随机变量),(YX的联合概率函数和边缘概率函数，XY1y2y3y()•==iipxXP1x2x0.250.1250.5()jjpyYP•==13、设随机变量YX,的数学期望均为5，方差均为4，YX,的相关系数为0.5，则=−)(YXD，由切比雪夫不等式得到()≤≥−8YXP.二、选择题(12分，每小题4分，将答案填在()内)1、设1)(0,1)(0BPAP，且()()1=+BAPBAP，则下列选项中必定成立的是()(A)事件A和事件B互不相容；(B)事件A是事件B的对立事件；(C)事件A和事件B不独立；(D)事件A和事件B相互独立.2.对任意常数)(,,baba，已知随机变量X满足(),()PXaPXbαβ≤=≥=.记()bXaPp≤=,则下列选项中必定成立的是()(A))(1βα+−=p；(B))(1βα+−≥p；(C))(1βα+−≠p；(D))(1βα+−≤p.3、设随机变量4321,,,XXXX相互独立且均服从相同的正态分布,即),0(~2σNXi，0σ.则下列随机变量中不服从2χ分布的是()(A)()++243222321311XXXσ；(B)()++242212566111XXXσ；(C)()()+++243221234451231311XXXXσ；(D)()()+++2432212342512511XXXXσ.三、(10分)在一个袋中有15个相同的乒乓球，球上分别写有1，2，.....,15.甲,乙两人先后从袋中不放回地取出一个球.(1)求甲取到的球上的数字是3的倍数的概率；(2)若已知甲取到的球上的数字是3的倍数,求乙取到的球上的数字大于甲取到的球上数字的概率.四、(12分)设随机变量X和Y相互独立且服从相同的分布，X服从区间[0,2]上的均匀分布，记ZXY=−.(1)求Z的密度函数()fz；(2)求)(ZE和)(ZD.五、(16分)设随机变量(,)XY的联合密度函数为=其他,0;10,),(2xyxkyxf(1)求常数k；(2)分别求,XY的边缘密度函数；(3)求条件密度函数1(),()4YXXYfyxfx.六、(12分)某汽车销售点每天售出的汽车数服从参数为2的泊松分布,若一年365天这个销售点都经营汽车销售,且每天出售的汽车数相互独立,试用中心极限定理求该汽车销售点一年中售出的汽车数大于700辆的概率.七、(12分)设某种新型塑料的抗压力X服从正态分布2(,)Nµσ，现对9个试验件做压力试验，得到试验数据(单位：10MPa)，并由此算出样本均值和样本方差分别为2457,36xs==，分别求µ和σ的置信水平0.95的双侧置信区间.八、(14分)某车间生产了一批产品,现要估计这批产品的不合格率p,随机抽取了容量为n的样本12,,nXXX,这里=件产品为合格品。，取到的第件产品为不合格品；取到的第iiXi0,1(1)求p的极大似然估计量pˆ；(2)问：p的极大似然估计量pˆ是否为p的无偏估计量？请说明理由.(3)若抽查了这批产品中的100件,发现其中只有92件合格品.求这批产品的不合格率p的极大似然估计值.备用数据：(0.833)0.80Φ=，(1.645)0.95Φ=，220.950.050.95(9)1.8331,(9)3.325,(9)16.919tχχ===.一、填空题(共18分，每小题6分)1、已知8.0)(,6.0)(,5.0)(===ABPBPAP，则()ABP=,()BAP=，()PAB=.2、设随机变量X的概率密度为=其它,010,5)(4xxxf，则使得)()(aXPaXP=成立的常数=a，XYln2−=的密度函数为=)(yfY.3、设12,,nXXX相互独立且服从相同的分布，∑====niiXnXXDXE1111,3)(,1)(，则由切比雪夫不等式可得()≤≥−11XP，∑=niiXn121以概率收敛于.二、选择题(12分)1、对于任意二个随机事件BA,，则下列选项中必定成立的是()(A)若φ=AB，则事件A和事件B相互独立；(B)若0)(=ABP，则事件A与事件B互不相容；(C)若0)(=AP，则事件A和事件B相互独立；(D)若φ≠AB，则事件A和事件B不相互独立.2、对于任意二个随机事件BA,，其中1)(,0)(≠≠APAP，则下列选项中必定成立的是()(A)()()ABPABP=是BA,独立的充分必要条件;(B)()()ABPABP=是BA,独立的充分条件非必要条件；(C)()()ABPABP=是BA,独立的必要条件非充分条件；(D)()()ABPABP=是BA,独立的既非充分条件也非必要条件.3、设随机变量X的概率密度函数为∞−∞=−xexfx,)(2，则X的分布函数是()(A)≥=0,10,5.0)(2xxexFx;(B)≥−=−0,5.010,5.0)(22xexexFxx；(C)≥−=−0,10,5.01)(2xxexFx；(D)≥≥−=−1,101,5.010,5.0)(22xxexexFxx.三、(10分)在某外贸公司出口罐头的索赔事件中，有5