第一讲 相似三角形的判定及有关性质(6)

复习相似三角形的性质：（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。HH´DD´EE´习题1.310.如图,平行四边形ABCD中,AE︰EB=1︰2求:△AEF与△CDF的周长比;如果△AEF的面积等于6cm²,求△CDF的面积.ADEBCF习题1.35.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边AD,BE与CF交于一点G,AE与DF交于一点H.求证:GH//AB.ABCDEFGHEGAGEFADEFBCEHBH预备定理定义引理习题1.36.已知:DE//AB,EF//BC.求证:△DEF∽△ABC.7.△ABC是钝角三角形,AD,BE,CF分别是三条高.求证:AD·BC=BE·ACABCEDFOABCDEF三边对应成比例△ACD∽△BCE.例6.如图,锐角三角形ABC是一块钢板的余料,边BC=24cm,BC边上的高AD=12cm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.求这个正方形零件的边长.ABCMDQPNE解:设正方形PQMN为加工成的正方形零件.边QM在BC上,顶点P,N分别在AB,AC上.△ABC的高与边PN相交于点E.设正方形的边长为xcm.)(8241212cmxxxxBCPNADAEABCAPNBCPN//∽相似三角形中的高，中线，内角平分线，周长，面积等要素都与相似比有关.思考：那么，与三角形有关但不在三角形内的其他元素是否与三角形的相似比有联系呢？你想到哪些元素？三角形的外接圆和内接圆问题1两个相似三角形的外接圆的直径比，周长比，面积比与相似比有什么关系？探究：ABDCOA´B´D´C´O´∵∠C=∠C′而∠D=∠C∠D′=∠C′∴∠D=∠D′,∽∴Rt△ABDRt△A′B′D′.kBAABDAADADADO22的周长DADAO22的周长.kDAADOO周长周长.)2()2(222kDAADOO面积面积结论：两个相似三角形的外接圆的直径比，周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。问题2两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比，面积比与相似比有什么关系？结论：两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。Rr四直角三角形的射影定理点在直线上的正射影从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。一条线段在直线上的正射影线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。A´AANMNMABA´B´点和线段的正射影简称射影探究：△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高。你能从射影的角度来考察AD与CD，BD与CD，BC与AC。你能从发现何关系？ABDC.90,9000BCDBBCDACDBACDCBDACDBDCDCDAD)1(2BDADCD即CBDRtACDRt和考察BCARtBDCRt和考察,是公共角BBCACDA由同理,ABBCBCBD)2(2ABBDBC即)3(2ABADAC有∽BCABDC∽∽射影定理直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。BDADCD2ABBDBC2ABADAC2ABDC用勾股定理能证明吗?∵AB²=AC²+BC²∴(AD+BD)²=AC²+BC²即2AD·BD=AC²-AD²+BC²-BD²∵AC²-AD²=CD²BC²-BD²=CD²∴2AD·BD=2CD²∴CD²=AD·BD而AC²=AD²+CD²=AD²+AD·BD=AD(AD+BD)=AD·ABABDCO例1如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D.AD=2,DB=8,.,90,:0是直角三角形即是半圆上的圆周角解ABCACBACB;4,16822CDBDADCD解得由射影定理可得;52,201022ACABADAC解得.58,801082BCABBDBC解得求CD,AC和BC的长.习题1.41.直角△ABC中已知:CD=60AD=25求：BD,AB,AC,BC的长BD=144,AB=169,AC=65,BC=156例2△ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且CD²=AD·DB求证：△ABC是直角三角形。ABDC证明:在△CDA和△BDC中,.90.,0BDCCDAABCDDABC上的射影为在点.909090000是直角三角形中在ABCACBACDBCDACDCADACDBCDCADBDCCDADBCDCDADDBADCD::2又∽平行线等分线段定理平行线分线段成比例定理推论1推论2推论1.2节例3引理预备定理判定定理3判定定理1判定定理2相似三角形概念直角三角形相似的判定定理射影定理相似三角形性质射影概念勾股定理1.从特殊到一般的思考方法.数学方法:在研究数学问题时,通过考察特殊性问题获得一般规律的猜想,并从中得到证明一般规律的思想方法的启发;然后由特殊过渡到一般,对一般性结论作出严格证明.2.化归思想方法.在研究问题时,常常通过一定的逻辑推理,将困难的,不熟悉的问题转化为容易的熟悉的问题.恒等变形,换元法,数形结合法,参数法等,都是具体的化归方法.相似三角形的证明采用了化归为预备定理的方法.习题1.42.如图，△ABC中∠BAC=60°CD⊥AB求证：BD=AB-AC21ACBD60°3.如图，已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项。ab