目标规划

第三章目标规化§3.1目标规划的数学模型一.引例某厂生产两种产品A和B，已知生产A产品100kg需8个工时，生产B产品100kg需10个工时，假定每日可用的工时数为40，且希望不雇临时工，也不加班生产。这两种产品每100kg均可获利100元。此外，有个顾客要求每日供应他B种产品600kg.问应如何安排生产计划？解设生产A、B两种产品的数量各为12xx和（均以100kg计），如以利润最大为目标则可得如下模型：1212212max10010081040.6,0Zxxxxstxxx这是一个一般的线性规划模型，由于其中的两个约束条件矛盾，故无可行解；但是，它是一个实际问题，应该存在某种解决办法。经过分析，“无解”的原因有两个：一是顾客对B产品的需求太大，该工厂供应不了，仅能供给一部分；二是人力少了，不加班不雇临时工完成不了任务。为了解决这个生产实际问题，就要寻求能使产品B的产量尽量大和（或）消耗人力尽量少的方案。这样一来，就又产生了两个新的目标，考虑到原来的目标和约束条件，可得:112212212212max100100(min810((B81040.6,0ZxxZxxxxxstxxx3获利尽量多）用人尽量少）maxZ种产品产量尽量多）这是一个多目标规划问题，其第一个目标和第二个目标明显矛盾，不能同时满足。为此，必须分出轻重缓急，排出层次，决定哪一个目标是第一位的，必须首先满足；哪个是第二位的，可在前一个目标已得到满足的基础上尽量满足……另外，上面约束中的右侧常数项（40和6）多是一种估计或期望，不一定是不可改变的。因而，可考虑允许存在偏差，而以正偏差变dd量和负偏差变量表示,且将约束条件写成等式.若希望每日总利润达800元，则引入正负偏差变量，有1211122223312100100800810406,0,01.2.3iixxddxxddxddxxddi一般来说，不同目标的重要程度是有区别的。在上述三个目标中，如果决策者认为“获利尽量多”最为重要，“用人尽量少”次之，“B产品的产量尽量大”再次之，即可以获利尽量多为第一优先级目标,以用人尽量少为第二优先级目标，以B产品的产量尽量大为第三优先级目标。于是，可将该问题的目标规划模型写成:1122331211122223312min{()()()}100100800810406,0,01.2.3iiFpdpdpdxxddxxddxddxxddi在求解时，先求出满足目标1p的解，在不使目标1p的值变差的前提下，再求满足目标2p的解；然后在不使目标1p3p的值变差的前提下，再求满足目标的解，如此继续。这样,最终2p及目标得到的满足所有多级目标的解称为满意解.包含偏差变量的目标函数F称为“达成函数”。在一般线性规划中，“目标”和“约束”十分明确，这种目标和约束具有“绝对”的意义，即所谓硬约束.在目标规划中，常将约束条件的的右侧值看成“追求的目标”，允许实现目标和满足约束有正偏差和负偏差（由正、负偏差变量体现）。当然，在目标规划模型中，也可含有某种绝对约束.注意：在达成函数中，如包含正偏差变量id，说明不希望超过ib；这个约束的右侧常数如包含负偏差变量id这个约束的右侧常数ib。如同时包含，说明不希望少于iidd和,则说明希望左右相等。二.一般模型一般的目标规划问题，假设有n个决策变量(1,2,,)jxjnm个约束条件（包括目标约束）,K个优先等级()Km个优先级别中的目标，它们的正负偏差变量的重要程度还可以有差，在同一别，这时可以给同一优先等级的正负偏差变量赋予不同的加权系数kkww和，这样目标规划问题的数学模型可表示为：111min()1,,.01,,,01,,KmkkiikiikinijjiiijjiiFpwdwdaxddbimstxjnddim三.几个例子通过几个例子说明如何建立实际问题的目标规划模型。例1某工厂因生产需要欲采购一种原材料，市场上的这种原料有两个等级，甲级单价2元/千克，乙级单价1元/千克。要求所花总费用于50千克。问如何确定最好的采购方案？不超过200元，购得原材料总量不少于100千克，其中甲级原料不少解设12,xx分别为采购甲级和乙级原料的数量（千克），引入正、负偏差变量和目标的优先级，由题意可得:1122331211122213312min()()()2200100.50,0,01,2,3iiFpdpdpdxxddxxddstxddxxddi例2某公司准备对产品进行更新换代。但是由于资金有限，管理层不得不在三种新产品的投资上作出取舍。另外，还需要考虑的是，这些决策是否会影响公司维持职工的相对稳定等。经过管理科学工作者和公司管理高层开会进行讨论，确定了如下目标：目标1：新产品产生的总利润不得少于1.25亿元；目标2：保持现有职工4000人的员工水平；目标3：将投资金额限制在5500万元；并且，他们对以上目标明确优先解决的次序：优先级1：三种新产品产生的总利润不得少于1.25亿元；优先级2：避免员工水平低于4000人；优先级3：将投资金额限制在5500万元；优先级4：避免员工水平高于4000人。总利润、员工水平以及资金投资规模都依赖于三种产品的产量，每一产品对各个目标贡献与产量成比例关系，如表1问应该如何拟定一个满意方案？因素产品单位贡献目标123总利润/百万元12915125员工水平/以百为单位534=40投资资金（百万）57855表1112233441231112322123331232212311223344min1291512553440..5785553440,,,,,,,,,,0zpdpdpdpdxxxddxxxddstxxxddxxxddxxxdddddddd123,,xxx设分别为三种产品的产量，则有§3.2目标规划的图解法当决策变量只有两个时,可用图解法求解.例1用图解法求解:1122331211122223312min{()()()}100100800810406,0,01.2.3iiFpdpdpdxxddxxddxddxxddi先令各约束中的偏差变量,(1,2,3)iiddi均为零,并在直角坐标系下画出各约束直线.然后以箭头表示偏差变量增大时对约束边界的影响.并用小圆圈把达成函数中的偏差变量圈起来.例2用图解法求解:11223312111222123312min{()()()}1021423,0,01.2.3iiFpdpdpdxxddxxddxxddxxddi解