时间序列 第三章 ARMA模型的特性

第一节线性差分方程一、后移算子B定义为，从而1ttBXXmttmBXX前面的MA(m)模型、AR(n)模型和ARMA(n,m)模型可分别表示为：()ttXBa()ttBXa()()ttBXBa212()1nnBBBB212()1mmBBBB其中：(1)常数的后移算子为常数：Bcc(2)分配律：()mnmnttttmtnBBXBXBXXX(3)结合律：()mnmnmtttntmnBBXBBXBXX(4)后移算子B的逆为前移算子11ttBXX(5)对于1，无限求和得2233(1...)1ttXBBBXB后移算子的性质:二、线性差分方程1111ttntnttmtmXXXaaa()()ttBXBa212()(1)nnBBBB212()1mmBBBB()()tXCtIt差分方程的通解为：可写成这里这里，C(t)是齐次方程通解，I(t)是特解。三、齐次方程解的计算()0tBX12()(1)(1)(1)nBGBGBGB假定G1，G2，…，Gn是互不相同，则在时刻t的通解：1122ttttnnXAGAGAG其中Ai为常数（可由初始条件确定）。无重根考虑齐次差分方程()0B••重根设()0B10G2101210[]dttdXAAtAtAtG有d个相等的根，可验证通解为对一般情形，/120()(1)(1)(1)(1)dnBGBGBGBGB因此，齐次方程解是由衰减指数项、多项式、衰减正弦项，以及这些函数的组合混合生成的。/1001()dntjtkjiijiCtGAtDG齐次方程解便是上述过程中计算iG并不方便，通常通过解方程1212...0nnnn得到其根为：,1,2,...,iin。由于1212...0nnnn的根与21210nnBBB的根互为倒数，因此iiG。请看例题•定义：设零均值平稳序列{,0,1,2,...}tXt第二节格林函数(Green’sfunction)和平稳性(Stationarity)一、格林函数(Green’sfunction)能够表示为0(1)tjtjjXGa则称上式为平稳序列tX的传递形式，式中的加权系数jG称为格林（Green）函数，其中01.GttXGBa•格林函数的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。（1）式可以记为其中0jjjGBGB式（1）表明具有传递形式的平稳序列可以由现在时刻以前的白噪声通过系统“”的作用而生成，是j个单位时间以前加入系统的干扰项对现实响应的权，亦即系统对的“记忆”。0jjjGBGBjGtjatja二、AR（1）系统的格林函数111111212111().........ttttttttttttXXaXXaXaaaa由AR（1）模型即：10jttjjXa则AR(1)模型的格林函数1jjG例：下面是参数分别为0.9、0.1和-0.9的AR（1）系统对ta扰动的记忆情况。（演示试验）比较前后三个不同参数的图，可以看出：•取正值时，响应波动较平坦。•取负值时，响应波动较大。•越大，系统响应回到均衡位置的速度越慢，时间越长。三、格林函数与AR（n）系统的平稳性平稳性的涵义就是干扰项对系统的影响逐渐减弱，直到消失，对于一个AR（n）系统，将其写成格林函数的表示形式，0tjtjjXGa如果系统是平稳的，则预示随着j→∞，扰动的权数0jG•对于AR(1)系统0jG即10j这要求11上述条件等价于AR(1)系统的特征方程10的根在单位圆内(或方程()0B的根在单位圆外).AR（n）模型，即()ttBXa其中：212()1nnBBBB的平稳性条件为：()0B的根在单位圆外1212()0nnnn（或的根在单位圆内）。•AR（n）系统的平稳性条件：（请同学们观察平稳性AR(n)与非平稳性AR(n)的区别。）AR(1)的结论可以推广到AR(n)例：求AR（2）模型的平稳域解：特征方程212()0的根2112142，2112242122，121根据AR模型的平稳性的条件1(1,2)ii21211212121211121121212()111由于12,是实数，12,必同为实数或共轭复数，由于1(1,2)ii，因此21121111故AR（2）模型的平稳域为22121111图示如右图几个例题•ARMA模型格林函数的通用解法()()ttBXBaARMA(n,m)模型且()ttXGBa则()()()BGBB*,00,jjjnjn令*,00,lllmlm()()()BGBB则化为**000jkljkljklBGBB比较等式两边B的同次幂的系数，可得**0,1,2,3,...ljljljGl由上式，格林函数可从1l开始依次递推算出。例：求AR(2,1)系统的格林函数。是零均值平稳序列，如果白噪声序列tXta1ttjtjjaXIX第三节逆函数和可逆性（Invertibility）能够表示为一、逆函数的定义设则称上式为平稳序列tX式中的加权系数1,2,...jIj称为逆函数。可逆。•ARMA（n,m）模型逆函数通用解法对于ARMA（n,m）模型的逆函数求解模型格林函数求解方法相同。01()1,1jtjjIBIXI令二、ARMA模型的逆函数的逆转形式tX1ttjtjjaXIX()ttaIBX则平稳序列可表示为由ARMA(n,m)模型()()ttBXBa()()()BBIB可得仍由先前定义的*j*l和，则上式可化为**000jlkjlkjlkBBIB比较上式两边B的同次幂的系数，得到**0jjklkkI即**1,1,2,...jjjkjkkIIj可从jI1j由此开始推算出。对于MA（m）模型的可逆性讨论与AR（n）模型平稳性的讨论是类似的，即：1212...0mmmmVVVkV1kVMA（m）模型的可逆性条件为其特征方程的特征根满足•ARMA(n,m)系统格林函数与逆函数的关系在格林函数的表达式中，用jIjG代替，代替代替，，即可得到相对应的逆函数。•理论自协方差函数和自相关函数对于ARMA系统来说，设序列的均值为零，则自协方差函数kttkEXX第四节自相关函数与偏自相关函数自相关函数0kk•样本自相关函数的计算在拟合模型之前，我们所有的只是序列的一个有限样本数据，无法求得理论自相关函数，只能求样本的自协方差函数和自相关函数。样本自协方差有两种形式：*11ˆ,0,1,2,...,1NkttktkXXkNNk一、自相关函数则相应的自相关函数为11220111ˆˆ1ˆNNttkttkktktkkNNttttXXXXNXXN**11220111ˆˆ1ˆNNttkttkktktkkNNitttXXXXNNkNkXXN11ˆ,0,1,2,...,1NkttktkXXkNN在通常情况下，我们采用第一种算法。1、AR(n)过程自相关函数ACF1阶自回归模型AR(1)Xt=Xt-1+at的k阶滞后自协方差为：011))((kkttktkXXE=1,2,…因此，AR(1)模型的自相关函数为kkk0=1,2,…由AR(1)的稳定性知||1，因此，k时，呈指数形衰减，直到零。这种现象称为拖尾或称AR(1)有无穷记忆（infinitememory）。注意，0时，呈振荡衰减状。Xt=1Xt-1+2Xt-2+at该模型的方差0以及滞后1期与2期的自协方差1,2分别为２阶自回归模型AR(2)222110s0211212011类似地,可写出一般的k期滞后自协方差：22112211))((kktttktkrXXXE(K=2,3,…)于是,AR(2)的k阶自相关函数为：2211kkk(K=2,3,…)其中:1=1/(1-2),0=1如果AR(2)平稳，则由1+21知|k|衰减趋于零，呈拖尾状。至于衰减的形式，要看AR(2)特征根的实虚性，若为实根，则呈单调或振荡型衰减，若为虚根，则呈正弦波型衰减。一般地，n阶自回归模型AR(n)Xt=1Xt-1+2Xt-2+…nXt-n+atk期滞后协方差为:nknkktntnttKtkXXXXELL22112211))((从而有自相关函数:可见，无论k有多大，k的计算均与其１到n阶滞后的自相关函数有关，因此呈拖尾状。如果AR(n)是平稳的，则|k|递减且趋于零。1122...kkknkn其中：zi是AR(n)特征方程(z)=0的特征根，由AR(n)平稳的条件知，|zi|1;因此，当zi均为实数根时，k呈几何型衰减（单调或振荡）；当存在虚数根时，则一对共扼复根构成通解中的一个阻尼正弦波项，k呈正弦波衰减。事实上，自相关函数是一n阶差分方程，其通解为1122...kkknkn1nkkiiiCZ对MA(1)过程2、MA(m)过程1tttX可容易地写出它的自协方差系数：0)1(3221220Lss于是，MA(1)过程的自相关函数为：0)1(3221L可见，当k1时，k0，即Xt与Xt-k不相关，MA(1)自相关函数是截尾的。其自协方差系数为一般地，m阶移动平均过程MA(m)相应的自相关函数为可见，当km时，Xt与Xt-k不相关，即存在截尾现象，因此，当km时，k=0是MA(m)的一个特征。于是：可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为0来判断MA(m)模型的阶。222212211(1...)0()(...)0amkttkakkmkmkrEXXkmkmss当当1当11...tttmtmXaaa2221112010(...)/(1...)0kkkkmkmmkrkmrkm当当1当二、偏自相关函数自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt-1的总体相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的隐含关系。例如，在AR(1)随机过程中，Xt与Xt-2间有相关性可能主要是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来的:即自相关函数中包含了这种所有的“间接”相关。与之相反，Xt与Xt-k间的偏自相关函数(partialautocorrelation，简记为PACF)则是消除了中间变量Xt-1，…，Xt-k+1带来的间接相关后的直接相关性，它是在已知序列值Xt-1，…，Xt-k+1的条件下，Xt与Xt-k间关系的度量。)()(21