第七章 应力状态和强度理论(1)

第七章应力状态和强度理论§7-1概述在第二章和第三章中曾讲述过杆受轴向拉压时和圆截面杆受扭时杆件内一点处不同方位截面上的应力，并指出：一点处不同方位截面上应力的集合(总体)称之为一点处的应力状态。由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出的微小正六面体──单元体的三对相互垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状态(stateofstress)可用一个单元体及其上的应力来表示。20coscosp2sin2sin0p单向应力状态2sin2cos纯剪切应力状态研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以：1、了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸时的屈服(yield)现象是由于在切应力最大的45˚斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45˚方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。2、在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下，如图所示,应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强度理论)(theoryofstrength,failurecriterion)的基础。本章将研究：Ⅰ、平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力状态(空间应力状态)的概念；Ⅱ、平面应力状态和三向应力状态下的应力－应变关系——广义胡克定律(generalizedHooke’slaw)，以及这类应力状态下的应变能密度(strainenergydensity)；Ⅲ、强度理论。§7-2平面应力状态的应力分析·主应力平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对平行平面上没有应力，而另外两对平行平面上都只有正应力而无切应力这种应力状态。等直圆截面杆扭转时的纯剪切应力状态就属于平面应力状态(参见§3-4的“Ⅱ.斜截面上的应力”)。(a)(c)(b)对于图(a)所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图(b)(立体图)和图(c)(平面图)。本节中的分析结果将表明A点也处于平面应力状态。平面应力状态最一般的表现形式如图(b)所示，现先分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面上的应力。Ⅰ.斜截面上的应力图(b)中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法线n与x轴的夹角a定义，且a角以自x轴逆时针转至外法线n为正；斜截面上图中所示的正应力σa和切应力τa均为正值，即σa以拉应力为正，τa以使其所作用的体元有顺时针转动趋势者为正。由图(c)知，如果斜截面ef的面积为dA，则体元左侧eb的面积为dA·cosa，而底面bf的面积为dA·sina。图(d)示出了作用于体元ebf诸面上的力。需要注意的是，图中所示单元体顶、底面上的切应力τy按规定为负值，但在根据图d中的体元列出上述平衡方程时已考虑了它的实际指向，故方程中的τy仅指其值。也正因为如此，此处切应力互等定理的形式应是τx=τy。由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以2α为参变量的求a斜截面上应力σa，τa的公式：2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx体元的平衡方程为，0nF0sinsindcossind)coscosdsincosddAAAAAyyxx0cossindsinsindsincosdcoscosddAAAAAyyxx，0tFⅡ.应力圆为便于求得σa、τa，也为了直观地了解平面应力状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力圆(莫尔圆Mohr’scircleforstresses)来表示。先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：222222xyxyxx而这就是如图(a)所示的一个圆——应力圆，它表明代表a斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。C2yx222xyxO(a)2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyxCO(b)xxD,1yyD,2图(a)中所示的应力圆实际上可如图(b)所示作出，亦即使单元体x截面上的应力σx,τx按某一比例尺定出点D1，依单元体y截面上的应力σy,τy(取τy=-τx)定出点D2，然后连以直线，以它与σ轴的交点C为圆心，并且以或为半径作圆得出。1CD2CD值得注意的是，在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的x截面和y截面上应力的点D1和D2所夹圆心角为180˚，它是单元体上相应两个面之间夹角的两倍，这反映了前述σa，τa计算公式中以2α为参变量这个前提。222xyxO(a)C2yx利用应力圆求a斜截面(图a)上的应力σa，τa时，只需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半径按方位角a的转向转动2a角，得到半径，那么圆周上E点的座标便代表了单元体a斜截面上的应力。现证明如下(参照图b)：1DCECE点横座标2sin2cos222sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos22cos0101000xyxyxCDCDOCCECEOCCEOCCFOCOFE点纵座标01010sin22sin2cos2cos2sin2EFCECDCD2sin22cosyxxⅢ.主应力与主平面由根据图(a)所示单元体上的应力所作应力圆(图b)可见，圆周上A1和A2两点的横座标分别代表该单元体的垂直于xy平面的那组截面上正应力中的最大值和最小值，它们的作用面相互垂直(由A1和A2两点所夹圆心角为180˚可知)，且这两个截面上均无切应力。一点处切应力等于零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。据此可知，应力圆圆周上点A1和A2所代表的就是主应力；但除此之外，图(a)所示单元体上平行于xy平面的面上也是没有切应力的，所以该截面也是主平面，只是其上的主应力为零。在弹性力学中可以证明，受力物体内一点处无论是什么应力状态必定存在三个相互垂直的主平面和相应的三个主应力。对于一点处三个相互垂直的主应力，根据惯例按它们的代数值由大到小的次序记作σ1，σ2，σ3。图b所示应力圆中标出了σ1和σ2，而σ3=0。当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态；平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示，可能是σ1，也可能是σ2或σ3，这需要确定不等于零的两个主应力的代数值后才能明确。12)0(331)0(22)0(13现利用前面的图(b)所示应力圆导出求不等于零的主应力数值和主平面位置方位角a0的解析式，由于12111ACCOACCOAO22222142124212xyxyxxyxyx其中，为应力圆圆心的横座标，为应力圆的半径。故得OC11CDCAyxxBCDB212tan1110yxx2arctan20或即图(c)示出了主应力和主平面的方位。由于主应力是按其代数值排序记作σ1，σ2，σ3的，故在一般情况下由上列解析式求得的两个不等于零的主应力不一定就是σ1，σ2，所以应该把式中的σ1，σ2看作只是表示主应力而已。练习7.1：如图所示单元体，求a斜面的应力及主应力、主平面。（单位：MPa）504060解：1、求斜面的应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)(3.58)60sin()50()60cos(260402604000MPa)(3.18)60cos()50()60sin(2604000MPa30,50,60,40xyx300502、求主应力、主平面yxxytg22022minmax)2(2xyyxyx)(7.60)(7.80)50()26040(2604022MPaMPa16040)50(20067.5)(7.60,0),(7.80321MPaMPa主应力：主平面位置：x3140x0x60y练习7.2用应力圆求⑴图示单元体α=300斜截面上的应力；⑵主应力、主平面。（单位：MPa）60EFτσO.;003030EFOF2、量出所求的物理量11232110;0;..2OAOADCA解：1、按比例画此单元体对应的应力圆4080601DC3030(,)1A2A020202D例题7-2简支的焊接钢板梁及其上的荷载如图(a)所示，梁的横截面如图b和c。试利用应力圆求集中荷载位置C的左侧横截面上a，b两点(图c)处的主应力。解：焊接钢板梁的腹板上在焊缝顶端(图b中点f)处，弯曲应力和切应力都比较大，是校核强度时应加以考虑之点。在实际计算中为了方便，常近似地以腹板上与翼缘交界处的a点(图c)代替f点。正因为如此，本例题中要求的也是a点处主应力。梁的自重不计。1、梁的剪力图和弯矩图如图d和e。危险截面为荷载作用位置C的左侧横截面。mkN80kN200SCCMF2、相关的截面几何性质46333333m108812m10270m1011112m10300m10120zI363333*m10256m105.7m10135m1015m10120zaS3、危险截面上a点和b点处的应力MPa7.122Pa107.122m135.0m1088mN10806463azCayIMMPa6.64Pa106.64m109m1088m10256N102006346363*SdISFzzaCaMPa4.136Pa104.136m15.0m1088mN10806463bzCbyIM0b4、危险截面上a点和b点处以包含与梁的横截面在内的三对相互垂直的截面取出单元体，其x和y面上的应力如图(f)和(h)中所示。据此绘出的应力圆如图(g)和(i)。yxxxxxyy(f)对于点aMPa270MPa150321σ1和σ2的方向如图(f)中所示。(h)yxxx(g)σ1注意到图(f)和(h)所示单元体，其平行于xy平面的面为主平面（其上无切应力，相应的主应力为零，故图(g)所示应力圆上点A1所表示的是σ1。按作应力圆时的同一比例尺可量得：013(i)对于点b00MPa4.136321σ1沿x方向(图h)。当然，点a处主应力σ1和σ3的值及其方向也可按应力圆上的几何关系来计算：MPa4.15022221xxxMPa7.2722223xxx4.462/MPa7.122MPa4.64arctan2arctan20xx亦即a0＝-23.2°。11方向1D5、图(f)中所示a点主应力σ1的方向，实际上只须将应力圆上代表x截面上应力的点D1(σx，τx)反向投射到应力圆上的点，然后将代表σ3的点A2与点连以直线即得。这里利用了圆周角恒等于圆心角之半的几何关系。1D1Dyxxxxxyy(f)§7-3空间应力状态的概念当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的