5.8三元一次方程组

问题：甲、乙、丙三数的和是33，甲数比乙数大2，甲数的两倍与丙数的和比乙数大24，求这三个数．思考：题目中有几个未知数？含有几个相等关系？你能根据题意列出几个方程？x+y+z=33x-y=22x+z-y=24根据题意，列方程组：讨论：上面方程组具有什么特点？新课导入含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组．知识要点有一个三位数，已知个位上的数比十位上的数大2，十位上的数比百位上的数大3，且个位、十位、百位上的数的和为17，求这个三位数是多少？解：设个位上的数是x、十位上的数是y、百位上的数是z，根据题意，得x－y=2①y－z=3②x＋y＋z=17③②＋③，得x＋2y=20④①与④组成方程组x－y=2x＋2y=20解得x=8y=6把y=6代入②，得6－z=3所以z=3所以，这个三元一次方程组的解是x=8y=6z=3答：这个三位数是368．x－y=2①y－z=3②x＋y＋z=17③①利用代入法或加减法，消去一个未知数，得出一个二元一次方程组；②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解．解三元一次方程组的步骤：例1解三元一次方程组3x－4y＋z=11①5y－z=6②4x＋2y－3z=12③解：①×4－③×3，得－22y＋13z=8④②与④组成方程组5y－z=6－22y＋13z=8解这个方程组，得y=2z=4把y=2，z=4代入①，得3x－4×2＋4=11所以x=5因此，三元一次方程组的解是x=5y=2z=4例2解三元一次方程组x+y=7①y+z=9②z+x=8③解：①+②+③得2x+2y+2z=24即x+y+z=12④④－①得z=5④－②得x=3④－③得y=4x=3y=4z=5因此，三元一次方程组的解为例3解方程组x：y：z=2：3：5x+y+z=200解：此方程组即为235200xyzxyz3x=2y①3z=5y②x+y+z=100③即：③×3－①－②，得y=75把y=75分别代入①②，得3x=2×75所以x=503z=5×75所以Z=125因此，三元一次方程组的解为x=50y=75z=125例4在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=9；当x=2时，y=26；当x=0时，y=6．求a，b，c的值．解：根据题意，得三元一次方程组a+b+c=94a+2b+c=26c=6①②③把③代入①②，化简，得到一个新的二元一次方程组a+b=32a+b=10解这个二元一次方程组，得a=7b=-4因此，a=7b=-4c=6答：a=7，b=－4，c=6．例5某车间每天能生产甲种零件180个，或者乙种零件150个，或者丙种零件300个，甲，乙，丙3种零件分别取3个，2个，1个，才能配一套，要在30天内生产最多的成套产品，问甲，乙，丙3种零件各应生产多少天？x+y+z=30180x:150y:300z=3:2:1解：设甲种零件生产x天，乙种零件生产y天，丙种零件生产z天，根据题意，得x+y+z=30x=5zy=4z化简，得解这个方程组，得x=15y=12z=3答：甲种零件生产15天，乙种零件生产12天，丙种零件生产3天．例6解方程组：x(x+y+z)=9y(x+y+z)=27z(x+y+z)=45①②③解：①＋②＋③，得（x＋y＋z）2=81∴x＋y＋z=±9④①÷④，得x=±1②÷④，得y=±3③÷④，得z=±5∴原方程组的解为或x=1y=3z=5x=－1y=－3z=－5例7己知x，y，z满足方程组求x：y：z的值．x-2y+z=05x-4y-7z=0解：把字母z当成已知数，则原方程可变形为解这个方程组，得10x=z313y=z6x－2y=－z5x－4y=7z∴x：y：z=20：13：6解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而转化为一元一次方程进行求解．课堂小结三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程消元消元2．三元一次方程组的解是_____________．x+2y=10y-z=-32z-x=81．已知x∶y∶z＝1∶2∶3，且x＋y＋z＝30，则xyz＝________．750x=4y=3z=6随堂练习3．三元一次方程组的解是_____________．3x-y-z=92x+y-2z=6x+y+z=15x=6y=4z=54．三元一次方程组的解是__________．x+y=36y+z=56x+z=46x=13y=23z=335．已知并且Z≠0，求x：y的值．5x-4y-29z=0X-3y+3z=0解：把字母z当成已知数，则原方程可变形为解这个方程组，得5x－4y=29zx－3y=－3z∴x：y=9：4x=9zy=4z6．己知：，求：（1）x：z的值．（2）y：z的值．解：原方程组可化为3x-4y=5zx+2y=15z解此方程组，得x=7zy=4z∴x：z=7：1．y：z=4：1．3x-4y-5z=0(x,y,z≠0)x+2y-15z=0x:y:z=1:5:93x+y-z=-2①②7．解方程组解：由①可设x=t，则y=5t，z=9t，代入②得，3t＋5t－9t=－2∴t=2∴x=2，y=10，z=18x=2y=10z=18∴方程的解是