面面垂直判定定理

1二面角及二面角的平面角平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。(1)半平面:(2)二面角:l二面角的面二面角的棱lAB二面角－AB－二面角－l－5二面角的表示方法(3)二面角的平面角过二面角棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。αβB。OAB1。O1A1(3)二面角的平面角垂直于二面角棱的任一平面与两个半平面的交线所成的角也是二面角的平面角。①二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。②二面角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说这个二面角是多少度的二面角。二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内10lOABAOB二面角的平面角哪个对?怎么画才对?1.定义法根据定义作出来2.垂面法作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到lγABO12lOAB3.垂线法二面角的平面角的作法AOlD例1.已知空间四边形ABCD的四条边和对角线都相等，求平面ACD和平面BCD所成二面角的大小.DCBAO(4)二面角的范围[0。,180。](5)直二面角平面角为直角的二面角叫做直二面角OAB归纳：求二面角大小的步骤为：（1）找出或作出二面角的平面角；（2）证明其符合定义(垂直于棱)；（3）计算.变式训练：如图，已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小？3ACBD问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.猜想：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直面面垂直的判定定理符号表示：lABCD线面垂直面面垂直线线垂直βαβlαl例2.A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD，BC=CD,E是BD的中点，求证：平面AEC⊥平面BCDDACBE变式训练：已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC平面PBC；PABCO观察图形，要证明两平面垂直，只需证明直线AC⊥面PBC，或者直线BC⊥面PAC即可。证明:设已知⊙O平面为α,PABC面面BCPA为圆的直径又ABBCACPAACABCPBC面PABCACBCPAPACACPAC面面BCPAC面PACPBC面面例3如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（I）求证：平面EAC⊥平面PBC;（II）若二面角B－AC－E为450，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．例4.如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，AB∥CD，AB=AD=1．CD=2,DE=3，M为CE的中点．(I)求证：BM∥平面ADEF：(Ⅱ)求直线DB与平面BEC所成角的正弦值；(Ⅲ)求二面角B-EC-D的余弦值．1、对于直线m,n和平面,,，有如下四个命题，其中真命题的个数是()：(1)若m∥，mn，则n(2)若m，mn，则n∥(3)若，,则∥(4)若m，m∥n，n，则A．1B．2C．3D．42..如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，1,2,9010BCABAAABC,则异面直线A1B与AC所成角余弦值的的大小是___________4.等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，∠BAD=90°，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为___________.5.在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OCOBOA,M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值_______★6.在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面是面积为32的菱形，60ADC，M是PB中点。(1)求证：PACD(2)求证：平面PAB平面CDMMDCBAP7如图示，在正四棱柱1111ABCDABCD中，11,31ABBB，E为1BB上使11BE的点，平面1AEC交1DD于F，交11AD的延长线于G，求：（1）异面直线AD与1CG所成的角的大小（2）二面角11ACGA的正弦值C1A1DBCB1GFAED1归纳小结：(1)判定面面垂直的两种方法：①定义法②根据面面垂直的判定定理(2)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来解决.