等差数列专题复习

戴氏教育簇桥校区等差数列授课老师:唐老师1等差数列知识梳理1.定义：daann1（d为常数）（2n）；2．等差数列通项公式：*11(1)()naanddnadnN，首项:1a，公差:d，末项:na推广：dmnaamn)(．从而mnaadmn；3．等差中项（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2baA或baA2（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa4．等差数列的前n项和公式：1()2nnnaas1(1)2nnnad211()22dnadn2AnBn（其中A、B是常数）（当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）5．等差数列的判定方法（1）定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa．（3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。6．等差数列的证明方法定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）通常把题中条件转化成只含1a和d的等式！戴氏教育簇桥校区等差数列授课老师:唐老师28.等差数列的性质：（1）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（2）当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.(3)若{na}是等差数列，则232,,nnnnnSSSSS，…也成等差数列（公差为md）图示：mmmmmmSSSmmSSmmSmaaaaaaaa323231221321（4）若等差数列{}na、{}nb的前n和分别为nA、nB，且()nnAfnB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.（5）若na、nb为等差数列，则nnab为等差数列(6)求nS的最值法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，nS取最大值（或最小值）。若Sp=Sq则其对称轴为2pqn法二：①“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和即当，，001da由001nnaa可得nS达到最大值时的n值．②“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。即当，，001da由001nnaa可得nS达到最小值时的n值．或求na中正负分界项（7）设数列na是等差数列，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项的和，nS是前n项的和，则：1.当项数为偶数n2时，奇偶SSdn，其中n为总项数的一半，d为公差；2、在等差数列na中，若共有奇数项12n项，则121111(1)(21)1nnnnnSnaSSSnaSnSnaSSaSn奇奇偶奇偶奇偶偶注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a和()dq的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．戴氏教育簇桥校区等差数列授课老师:唐老师3等差数列练习题一、选择题1.已知为等差数列，135246105,99aaaaaa，则20a等于（）A.-1B.1C.3D.72.设nS是等差数列na的前n项和，已知23a，611a，则7S等于()A．13B．35C．49D．633.等差数列{}na的前n项和为nS，且3S=6，1a=4，则公差d等于A．1B53C.-2D34.已知na为等差数列，且7a－24a＝－1,3a＝0,则公差d＝A.－2B.－12C.12D.25.若等差数列{}na的前5项和525S，且23a，则7a()A.12B.13C.14D.156.在等差数列na中，284aa,则其前9项的和S9等于（）A．18B27C36D9戴氏教育簇桥校区等差数列授课老师:唐老师47.已知{}na是等差数列，124aa，7828aa，则该数列前10项和10S等于（）A．64B．100C．110D．1208.记等差数列{}na的前n项和为nS，若112a，420S，则6S（）A．16B．24C．36D．489.等差数列na的前n项和为xS若＝则432,3,1Saa（）A．12B．10C．8D．610.设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa（）A．63B．45C．36D．2711.已知等差数列}{na中，12497,1,16aaaa则的值是（）A．15B．30C．31D．6412．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.260戴氏教育簇桥校区等差数列授课老师:唐老师5二、填空题13．已知}{na是等差数列，且,13,77,57146541074kaaaaaaaa若则k=.14.已知等差数列na的前n项和为nS，若1221S，则25811aaaa．15.设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=16.设等差数列na的前n项和为nS，若535aa则95SS17.等差数列na的前n项和为nS，且53655,SS则4a18.已知等差数列{}na的公差是正整数，且a4,126473aaa，则前10项的和S10=19.设{na}与{nb}是两个等差数列，它们的前n项和分别为nS和nT，若3413nnTSnn，那么nnba___________；戴氏教育簇桥校区等差数列授课老师:唐老师620．nS是等差数列}{na的前n项和，542,30naa(n≥5，*nN)，nS=336，则n的值是.三、解答题21.在等差数列na中，40.8a，112.2a，求515280aaa.22.设等差数列na的前n项和为nS，已知312a，12S0，13S0，①求公差d的取值范围；②1212,,,SSS中哪一个值最大？并说明理由.戴氏教育簇桥校区等差数列授课老师:唐老师723.己知}{na为等差数列，122,3aa，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？24.设等差数列}{na的前ｎ项的和为Sn,且S4=－62,S6=－75,求：（1）}{na的通项公式an及前ｎ项的和Sn；（2）|a1|+|a2|+|a3|+……+|a14|.戴氏教育簇桥校区等差数列授课老师:唐老师825.已知等差数列{na}中，,0,166473aaaa求{na}前n项和ns.26．数列na是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。（1）求数列公差；（2）求前n项和ns的最大值；（3）当0ns时，求n的最大值。