二阶和三阶行列式(一)

教案编号:NO1课题:§7.1二阶与三阶行列式教学时间:教学班级:授课类型:讲授新课教学目的的要求：1、理解并掌握二阶行列式、三阶行列式的定义及其计算；2、会用二阶行列式、三阶行列式计算线性方程组；3、n阶行列式的定义。教学重点：1、二阶行列式、三阶行列式的定义及其计算；2、用二阶行列式、三阶行列式计算线性方程组；3、n阶行列式的定义教学难点：1、二阶行列式、三阶行列式的定义及其计算；2、用二阶行列式、三阶行列式计算线性方程组；教学思路及教学方法：1、先由解二元一次方程组引入二阶行列式、再由解三元一次方程组引入三阶行列式；2、分析三阶行列式的项与符号规律，给出n阶行列式的定义；3、本节重点是分析分析三阶行列式的项与符号规律以便引入n阶行列式，要把主要精力花在这一部分，利用对角线法则计算二阶三阶行列式不要太花时间、应强调对角线法则对于高阶行列式不适用。4、在适当时候提出问题让学生思考，来解决师生互动问题。教学过程一、教学引入：1、线性方程组的表达形式设含有n个未知数，n个方程的线性方程组为11112211211222221122,,.nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb二、讲授新课：1、二阶行列式讨论二元线性方程组的解法(1.2.1)引入符号称D为二阶行列式（（1.2.1）的系数行列式），它代表一个数，简记为D＝det(ija)，其中数ija称为行列式D的第i（行标）第j（列标）列的元素。当021122211aaaa时，求得方程组(1.2.1)的解为或，根据二阶行列式的定义，方程组(1.2.1)的解中的分子也可用二阶行列式表示．若记其中)2,1(jDj表示将D中第j列换成(1.2.1)式右边的常数项所得到的行列式．于是，当系数行列式0D时，二元一次方程组(1.2.1)有惟一解：或2、三阶行列式求解三元一次方程组11112212112222axaxbaxaxb，，1112112212212122aaDaaaaaa122122111221221baabxaaaa112121211221221abbaxaaaa1121122122222,baDbaabba1112112121212abDabbaab112222122122111112112212212122,bababaabDxaaaaaaDaa111212112121221112112212212122abababbaDxaaaaaaDaa（1．2．2）引入符号称为三阶行列式（（1.2.2)的系数行列式）。当系数行列式0D时，三元一次方程组(1.2.2)有惟一解，其中DDxDDxDDx332211,,3、三阶行列式的对角线法则：＝312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa补充：三阶行列式具有以下特点：（1）三阶行列式值的每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积，除去符号，每项的三个元素按它们在行列式中的行的顺序排成332211pppaaa，其中第一个下标（行标）都按自然顺序排列成123，而第二个下标（列标）排列成321ppp，它是自然数1,2,3的某个排列；（2）各项所带的符号只与列标的排列有关：带正号的三项列标排列：123,231,312；带负号的三项列标排列是：132,213,321．前三个排列为偶排列，而后三个排列为奇排列，因此各项所带符号可以表示为t)1(，其中111122133121122223323113223332axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb，，，111213212223313233aaaDaaaaaa112233122331132132112332122133132231aaaaaaaaaaaaaaaaaa1121312222333233,baaDbaabaa1111322122331333,abaDabaaba1112132122231323aabDaabaabt为列标排列的逆序数；(3)因1,2,3共有6个不同的排列，所以对应行列式右端是6项的代数和．因此，三阶行列式可以写成其中t为排列3,2,1ppp的逆序数，即，上式表示对1，2，3三个数的所有排列3,2,1ppp求和。4、n阶行列式的定义称由2n个数ija（nji...,3,2,1,）排成n行n列组成的记号为n阶行列式，简记为)det(ijaD。三、例题讲解例1：计算2315＝5×2－（－1）×3＝13例2：设D＝132，问（1）当为何值时D＝0；（2）当为何值时D0。解：D＝132＝3232＝0＝0，＝3。因此可得：（1）当＝0，＝3时D＝0；（2）当0，3时D0。例3：用行列时法解线性方程组：5623342121xxxx解：因为D＝18236462343536365331D14235452342D123111213212223123313233(1)tpppaaaaaaaaaaaa123()tppp111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa所以971814611832211DDxDDx例4：用对角线展开法计算：231523112解：231523112＝2×2×（－2）＋3×3×1＋（－1）×（－5）×1－1×2×1－3×（－1）×（－2）－3×（－5）×2＝－8＋9＋5－2－6＋30＝28例5：用行列式解线性方程组：833422432321321321xxxxxxxxx解：系数行列式04331212321D所以线性方程组有唯一解。又163382143241D163812423412D08314124213D所以方程组的解为：441611DDx441622DDx04033DDx四、课时小结：1、二阶行列式、三阶行列式的定义及其计算；2、二阶行列式、三阶行列式计算线性方程组；3、n阶行列式的定义。五、课堂练习和课后作业：六、板书设计：§二阶行列式、三阶行列式一、二阶行列式二、三阶行列式三、例题讲解及课堂练习七、课后分析：