7-第七章 应力状态分析 强度理论要点

1第七章应力状态分析强度理论7.1应力状态概述一、工程实例1.压缩破坏2.弯曲拉伸破坏3.弯曲剪切破坏4.铸铁扭转破坏5.低碳钢扭转破坏二、应力状态的概念1.点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。2.一点应力状态的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。3.求一点应力状态（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡（2）单元体任意部分平衡（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。三、应力状态的分类1.单元体：微小正六面体2.主平面和主应力：斜裂缝垂直裂缝斜向主拉应力zyxyxxzxzzxyyzyxzy2主平面：无切应力的平面主应力：作用在主平面上的正应力。3.三种应力状态单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如A、E点二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如B、D点三向应力状态：三个主应力都不等于零四、应力状态分析的方法1.解析法2.图解法7.2应力状态分析的解析法一、解析法图示单元体，已知应力分量x、y、xy和yx。yxyxxxyyxxxyyxyyfadbcenqABCDEABCDEzxyyxyxxyxyxyyx3（一）任意截面上的正应力和切应力：利用截面法，考虑楔体bef部分的平衡。设ef面的面积为dA，0Fn0sin)Asin(cos)sinA(cos)cosA(sin)cosA(Adddddyyxxxy0Ft0sin)Asin(cos)sinA(sin)cosA(cos)cosA(Adddddyxyxxy根据切应力互等定理：yxxy三角函数关系：22cos1cos2，22cos1sin2，cossin22sin解得：2sin2cos22xxxyyy（7-1）2cos2sin2xxyy（7-2）（二）主应力即主平面位置将式（8-1）对取一次导数，并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。令0时，0dd即：yxxyxyyx22tan02cos2sin22dd000将0和900代入（8-1），求出最大及最小的正应力为：22minmax)2(2xyyxyx（三）最大切应力及其作用平面的位置将式（8-2）对取一次导数，并令其等于零可确定切应力的极值和它所在平面的位置。yxiexyyxnfb4令1时，0dd即：xyyx22tan122minmax)2(xyyx所以有：22201，401即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45例题1.如图a所示受力杆件内单元体各面上的应力分量。试用解析法求出单元体在30倾斜面上的应力，主应力的大小并确定主平面的方位。解：（1）斜截面上的应力如图a，有：MPa50x，MPa100y，MPa70xy30所以，axyyyMP1.7360sin7060cos2100502100502sin2cos22xx30axyyMP3060cos7060sin2100502cos2sin2x30（2）主应力及主平面的方向MPa6.127MPa6.77)2(222minmax或xyyxyx主应力为MPa6.771，MPa02，MPa6.12733311nx5.21b)x3030y50Z30n7010070a)单位：Mpa5933.010050)70(222tan0yxxy（3）主平面位置为5.210或5.1110，即主平面外法线与x轴的夹角为5.21或5.111（见图b），该单元体是主单元体。2.已知圆轴直径d=15mm，在外力偶mN100Me作用下，发生扭转。试分析圆轴表面上A点的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。解：（1）A点处横截面上的切应力为MPa97.150m)015.0(14.3mN1001616MWM333ePTd在A点周围截取单元体，单元体各面上的应力如图b，xy,0yx所以，150.97MPa)2(222minmaxxyyxyx（2）主应力为MPa97.150,0,MPa97.150321yxxy22tan0主平面位置为：A3311yx45b)AeMeMa)64590200或135270200（3）由上分析可知，圆轴扭转时表面上各点均处于纯剪切应力状态，而且各点max所在的平面连成一个倾角为45的螺旋面，由于铸铁抗拉强度低，试件将沿这一螺旋面上因抗拉能力不足而发生断裂破坏。二、主应力迹线1A1B方向11A1A1A1A1B1B1B1B方向1DK方向1方向1方向1DKc)133323113311343311511b)qmna)12345x14b23hz57梁在横力弯曲时，除横截面上、下两边缘各点均处于单向拉伸或压缩外，横截面其他各点处的正应力就不是主应力。现利用应力圆来确定这些点处主应力的数值和主平面的位置。如图a，表示一个受均布荷载q作用的矩形截面梁，在梁的某一横截面m-n上，围绕2、4两点各取出一个单元体。设此横截面上的剪力和弯矩都是正值，则此二单元体各面上的应力状态如b图所示。单元体的x平面是梁的横截面。其上的正应力yIZMx和切应力bZ*ZQxyISF。单元体的y平面是梁的水平纵截面，其上的0y，xy和yx等值反号。根据这些已知应力，就可以作出相应的应力圆。求出梁截面上一点主应力方向后，把其中一个主应力的方向延长与相邻横截面相交，求出交点的主应力后，再将其延长线与下一个相邻横截面相交，依次类推，所做出的折线。折线上任一点的切线方向表示该点的主应力方向。梁内任意一点的主应力的表达式为：22x1)2(2xyx22x3)2(2xyx由上式知，梁内任意一点处的两个主应力必然一个为拉应力，另一个为压应力，两者的方向任意垂直。所以在梁的xy平面内可以绘制两组正交的曲线，在一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力1（拉应力）的方向，而在另一组曲线上每一点处切线的方向则为主应力3（压应力）的方向。这样的曲线称为梁的主应力迹线，前者称为主应力1迹线，后者则称为主应力3迹线。如图实线表示主应力1迹线，虚线表示主应力3迹线。由于主拉应力的存在，混凝土抗拉强度不足而沿着所在的主平面的方向开裂。在梁跨中的底部，主拉应力1方向是水平或接近水平的，所以裂隙方向是垂直的。在两端主拉应力1方向是倾斜的，所以裂隙也是与主应力正交而倾斜。正因为这样，在钢筋混凝土受弯构件中，主要承受拉力的钢筋应大致按照主应力1迹线来配置排8列，以承担梁内各点处的最大拉应力。7.3应力状态分析的图解法一、应力圆方程由式（7-1）（7-2）可知在二向应力状态下，在法向倾角为的斜截面上的正应力与切应力均为的函数。现消去，则有，2sin2cos22xxxyyy2cos2sin2xxyy以上两式等号两边平方，然后相加，得2xy2x22x22）（）（yy以横坐标表示，以纵坐标表示，上式时一个以和为变量的圆周方程，圆心的横坐标为2xy；纵坐标为零。圆的半径为2xy2x2）（y。这一圆周称为应力圆。又称摩尔应力圆，简称摩尔圆。二、应力圆的作法以图a所示单元体为例说明应力圆的做法。先建立直角坐标系，按一定比例尺量取横坐标xOA，xyAD,先确定D点（见图B）。量取yOB，xyDB，确定D，根据前节符号规定，yx为负，所以D点与D点分别位于横坐标的上下边。连接D、D与横坐标交于C点。以C点为圆心，CD为半径作圆，显然圆心C的纵坐标为零，横坐标为2OBOA21ODxy）（，所以，C点即是应力圆的圆心。圆半径22x22)2(ADCACDxyy。所以，图b所作的这一圆周就是该单元体的应力圆。a)xxyxyyxyxyxny202O)0,(Bmin11G2G,0)(Amax1),(DyyxFb)C),D(xyx),E(9三、应力圆的应用（一）二向应力状态单元体与应力圆的对应关系1.点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面上的正应力和切应力值。2.二倍角对应单元体上任意两个斜截面的外法线之间的夹角若为，则对应在应力圆上代表该斜截面上应力的两点之间的圆弧所对应的圆心角必为2。3.转向对应应力圆半径旋转时，半径端点的坐标随之改变，对应地，单元体上斜截面的法线亦沿相同方向旋转，才能保证斜截面上的应力与应力圆上半径端点的坐标相对应。（二）确定单元体斜截面上的应力根据以上的对应关系，可以从作出的应力圆确定单元体内任意斜截面那个的应力值。注意上图a、b，若求法线n与x轴夹角为逆时针角的斜截面的应力、，则在应力圆上，从D点也按逆时针方向沿圆周转到E点，且使DE弧所对应的圆心角2，则E点的坐标就代表以n为法线的斜面上的应力、。证明：2sin2cosCE2cos2sinCE)22(sinCEOF2sin2cosCE2cos2cosCEOC)22(cosCEOCOF000000因为CDCE2CA2cosCD2cosCEx00yxyAD2sinCD2sinCE00所以2sin2cos22OFxxxyyy2cos2sin2FExxyy这就是式（7-1）（7-2），证毕。（三）主应力的数值和主平面的方位由于应力圆上1A点的横坐标（正应力）最大，纵坐标（切应力）等于零，所以1A代表最大主应力，即：11maxAOCOAC同理，1B点表示最小正应力，即：11minCB-OCOB。OC是应力圆的圆心横坐标，而1CA则和1CB都是应力圆的半径，则：1022minmax)2(2xyyxyx在应力圆上有D点到1A点所对圆心角为顺时针的02，在单元体中由x轴也顺时针量取0，这就确定了max所在平面的法线位置，按照关于的符号规定，顺时针的0是负的，02应为负值，所以yxxy2CAAD-2tan0(四)确定最大切应力及其作用平面位置由应力圆可知，1G和2G两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力。因为1CG和2CG都是应力圆的半径，故有22minmax)2(xyyx在应力圆上，由1A到1G所对圆心角为逆时针主平面的2，所以在单元体内，最大切应力所在平面与max所在主平面的夹角为逆时针的4。也可以在应力圆上直接标出主应力的方向、主平面的位置和最大切应力平面的方向。如下图c所示，只需延长直线DA与圆周交于另一点K，连1KA，它就是与max所在的主平面平行的方向，连1KB，即为max的方向。因为D、K两点是对称于x轴的，所以，11DAKA,0112CDACKA,由于CKAKBA111和分别是同一圆弧所对的圆周角和圆心角，因此0011221KBA）