生产函数模型

1生产函数模型第一节生产函数及其性质一、生产函数生产函数是经济学研究的一个重要函数，它表示在一定技术条件下，生产要素的某种组合同它可能生产的最大产出量之间的数量关系。生产函数可以代表一个企业的生产过程，也可以代表一个部门的生产过程，在宏观经济模型中，它可以代表将整个经济系统看作是一个总合企业时的生产过程。假定有n种生产要素，其投入量分别为nXXX,,,21，生产处于最佳状态时，最大产出（生产）量为Q，生产函数可表示为nXXXfQ,,,21（3.1.1）生产函数表示了生产要素的投入与产出之间的技术关系，这里的“技术关系”是指在一定的时间内，技术水平不变的情况下，生产中的要素投入与最大产出量之间的关系。二、关于生产函数的几个基本概念（一）平均产量和边际产量总产量被某一投入要素量除就是该要素的平均产量。如投入要素iX的平均产量记iAPiiXQAP一种投入要素量增加一个单位，其它投入要素量不变时，产出的增加量称作边际产量。边际产量可用导数表示，如投入要素iX的边际产量记作iMPiiiXfXQMP（3.1.2）（二）边际替代率在技术水平不变的情况下，保持总产量不变，投入要素之间存在着替代性，研究第i种投入要素增加一个单位，可以减少第j种投入要素的投入量，称作第i种投入要素对第j种投入要素的边际替代率，也称技术替代率。用ijMRS表示要素i对要素j的边际替代率。2用增量形式表示：ijMRS=－ijXX（这里jiXX,异号）①用微分形式表示：ijMRS=－ijdXdX（3.2.3）对（3.1.1）式全微分，只考虑第i种投入要素和第j种投入要素的变动，其它投入要素不变，则有jjiidXXfdXXfdQ保持总产量不变，即0dQ,得出jijiijMPMPXfXfdXdX//即ijMRS=jiMPMP（3.1.4）第i种投入要素对第j种投入要素的边际替代率是它们边际产量的比率。（三）生产弹性与替代弹性生产弹性是指生产量对某一种投入要素的弹性，定义生产量对第i种投入要素的生产弹性为iiiiXdQdQXdXdQlnln（3.1.5）它解释为第i种投入要素增加百分之一时，产出量增加的百分比。替代弹性是衡量投入要素间替代的难易程度。替代弹性定义为：当要素比率（如ijXX/）和边际替代率（ijMRS）的变化都很小时，要素比率的变化幅度与边际替代率的变化幅度之比。用微分表示ijijjiijXXMRSMRSdXXd//ijjijiijXXMPMPMPMPdXXd////jiijMPMPdXXd/ln/ln（3.1.6）这里jiMPMP/是第i种投入要素与第j种投入要素的边际生产率之比。因此第i3①MRSij是Xi对Xj的边际替代率，Xj对Xi的边际替代率，记作MRSji=－△Xi/△Xj种投入要素对第j种投入要素的替代弹性可定义为投入要素比率(ijXX/)的变化幅度与边际际生产率比率(jiMPMP/)的变化幅度之比。替代弹性越小,表示投入要素之间替代越困难；替代弹性为零，表示投入要素之间没有替代的可能性，以固定的比例相结合。（四）规模收益所谓规模收益就是在一定技术条件下，生产规模的变动（即投入要素投入量的变动）所引起产出量的变动。设生产函数为nXXXfQ,,,21，给定1。（1）如果nnXXXfXXXf,,,,,,2121，即规模扩大倍后，生产者的收益nXXXf,,,21大于原来收益nXXXf,,,21的倍，此时，称规模收益递增。（2）如果1212,,,,,,nnfXXXfXXX，此时称规模收益不变。（3）如果1212,,,,,,nnfXXXfXXX，此时称规模收益递减。现在考虑一种特殊的生产函数nXXXfQ,,,21若对于任意的0均有nrnXXXfXXXf,,,,,,2121其中≥0为固定的数，此时称生产函数为r阶齐次生产函数，不难看出：当r＞1时，为规模收益递增；r=1时为规模收益不变；r≤1时为规模收益递减。第二节几种常见的生产函数一、柯布—道格拉斯生产函数美国经济学家保罗·道格拉斯（PaulDouglas）1927年发现，资本创造的国民收入与劳动创造的国民收入间的比率在相当长的时间内基本保持不变。这种现象促使他思考是什么条件导致了这种固定比率。道格拉斯求教于数学家查尔斯·柯布（Charlescobb）,发现下列生产函数具有这一性质：aLAKY1，10a（3.2.1）这里Y表示国民收入；A为一正数，表示技术水平；K表示资本；L表示劳动；表示资本对国民收入的贡献率（国民收入中的资本份额），1-表示劳动4对国民收入的贡献率（国民收入中的劳动份额）。根据该函数，资本创造的国民收入为：aYKLAaKKKYKMPaak11（3.2.2）这里的kMP为资本的边际生产。同样，劳动创造的国民收入为：YaLLKaALLYLMPaaL11（3.2.3）这里LMP为劳动的边际生产。对于柯布—道格拉斯生产函数（简称DC生产函数），很容易证明和1-分别为资本弹性和劳动弹性。虽然柯布—道格拉斯生产函数最初发现于宏观经济领域，但它在微观经济领域也得到了广泛应用，其形式为：nXXXfQ,,,21=nnXXAX2121（3.2.4）这里Q为产出量；iX为第i种投入要素；可以证明，n，iai21为第i种投入要素对产出量的贡献率，即该要素的生产弹性iiiaQXXQ对于生产函数（3.2.4），由于nnXXXfXXXfn,,,,,,212121，n21为齐次性的次数，如果n21＞1，此时为规模收益递增；如果n21=1，此时为规模收益不变；如果n21＜1，此时为规模收益递减。一般DC生产函数常采用如下形式LAKQ（3.2.5）这里和分别为资本弹性和劳动弹性。为齐次性的次数。当1＞　时，规模收益递增；1时，规模收益不变；1＜时，规模收益递减。对于（3.2.5）式，资本和劳动的边际生产率为KQLaAKKQMPak1LQLAKLQMPaL1根据（3.1.4）式，资本对劳动的边际替代率5KLMPMPMRSLKKL由（3.1.6）式，资本对劳动的替代弹性1/ln/ln/ln/ln/lnln/ln/ln/lnKLdKLdKLdKLdKLdKLdMPMPdKLdlK由此可见，柯布—道格拉斯生产函数的替代弹性为1。要素替代弹性为1是柯布—道格拉斯生产函数的一个显著的特点。因此分析某一生产问题，建立柯布—道格拉斯生产函数必须假定要素（资本K、劳动L）的替代弹性为1。事实上，不同的行业，要素之间的替代弹性是不同的，而且更不可能都等于1。这就是柯布—道格拉斯生产函数应用上的一个缺陷。C—D生产函数的估计：将C—D生产函数（3.2.5）写成对数线性形式uLKbQlnlnln（3.2.6）式中Abln，对（3.2.6）可直接利用OLS估计。但是由于K和L往往是相关的，因此（3.2.6）中lnK和lnL会出现共线性。假定生产处在规模收益不变阶段，即1，则（3.2.6）式可写作uLKbLQlnln（3.2.7）（3.2.7）式是C—D生产函数的相对变量形式，对（3.2.7）式应用OLS估计出参数，进而求得的估计量。二、固定替代弹性（CES）生产函数上面柯布—道格拉斯生产函数是固定替代弹性（CES）生产函数的一种特例。以两种投入要素为例，CES生产函数形式为：12211XXAQ（3.2.8）这里，0A＞，0＜ia＜1,i=1,2,1a+2a=1。可以证明（3.2.8）式给出的CES生产函数具有不变规模收益。因为612211][XXAQ=12211)(XXA在实际应用中取消了这一假定，将（3.2.8）式改写作mXXQ)(2211（3.2.9）对于（3.2.9）式有mXXA][2211])([2211mmXXA当m=1为规模收益不变，m＞1为规模收益递增，m＜1为规模收益递减。（3.2.9）式为实际应用的CES生产函数的理论模型。投入要素的边际生产率：对于X1111112211111XXXAXQMP=111XQA（3.2.10）同样，对于X21222XQAMP（3.2.11）由（3.2.10）和（3.2.11）可以看出当01＞时，要素的边际生产率递减。由于1221121,XXAXXf=12211XXA=21,XXf此说明，CES生产函数具有不变规模收益。CES生产函数的边际替代率：112212112XXMPMPMRS当01＞时，随着1X的增加，2X逐渐减少，CES生产函数的边际替代率呈递减趋势。7CES生产函数的替代弹性：11221122112ln/ln/ln/lnXXdXXdMPMPdXXd=122112/ln1/ln/lnXXdXXd11/ln1/ln1212XXdXXd因此，CES生产函数的替代弹性为一固定值，当0时，替代弹性为1，CES生产函数便成为柯布一道格拉斯生产函数。将CES生产函数模型（3.2.9）写作经济计量形式uXXAQm2211两边取对数得2211lnlnlnXXmAQ（3.2.12）将其中的2211lnXX在0处展开Taylor级数，取0阶、1阶、2阶项，代入（3.2.12）式，得到221212211ln21lnlnlnlnXXmXmXmAQ（3.2.13）对于（3.2.13）式，令Y=lnQ，Z1=lnX1，Z2=lnX2，2213)(lnXXZ；b0=lnA，mb11，mb22，21321mb，(3.2.13)式可以表示为3322110ZbZbZbbY（3.2.14）对于模型（3.2.14）可利用OLS进行估计，得到b0，b1，b2，b3的估计值，利用对应关系121，可计算得到关于参数A，ρ，m，1，2的估计值。第三节投入要素最佳组合的优化模型设n种投入要素的生产函数为8nXXXfQ,,,21（3.3.1）设,,,2,1,nii是投入要素iX的“单价”（如果投入要素为劳动，为工资率，投入要素为资本，为利息率）；P为产出品价格（若为多种产出品，P为平均价格）。现给出投入要素最佳组合的二种优化模型。一、利润最大化模型企业的目标是追求尽可能多的利润，即在产品的价格和投入要素的价格一定时，选择最佳的投入要素组合，使其利润最大化。对于生产函数（3.3.1）,用表示利润，则生产决策可表示为：选择最佳投入要素组合（nX,,X,X21）使利润最大化，即121122,,...,maxs.t00,1,2,...,nnnXXXiPfXXXXin：，（3.3.2）该问题的一阶必要条件为0iiiXfPX,,,2,1ni（3.3.3）即1,2,,iiiPMPin（3.3.4）（3.3.4）表示投入要素的