高中物理公式证明

12015年安徽省高三物理公式证明题总复习在安徽省近三年的高考中都出现了证明题，所以毕当引起考生的重视。在物理考试说明的题型示例中，也出现了公式证明题。在解这类问题时，要有一定的文字说明，首先必须交待所用的每个物理量的含义，其次要分析过程，并说明所用的物理概念或规律。下面给出的是高中物理公式证明题总复习的示例，希望各位同学能够自己仔细去推敲。【例1】证明运动学中的几个推论设物体做匀变速运动，初速度为v0，末速度为vt，加速度为a，运动时间为t，中间时刻的速度为vt/2，中间位置的速度为vs/2，证明：1．2.2vvv2t202s3.vt2-vo2=2as4.Δs=aT2[证明]1．根据运动学公式：vt=vo+at,s=vot+at2/2,中间时刻的速度：vt/2=vo+at/2平均速度：2/atvt2/attvtsv020又(v0+vt)/2=(v0+v0+at)/2=vo+at/2,所以2．vt2-vo2=2as……（1）vs/22-vo2=2a(s/2)……（2)(1)/(2):vs/22=(vo2+vt2)/2,所以有2vvv2t202s3.根据vt=vo+at,得：t=(vt-vo)/a,把t代入s=vot+at2/2,得：vt2-vo2=2as4.从第一个T秒开始时计时，在该时刻t=0,速度为v0，有：s1=v0T+aT2/2,s2=（v0+aT）T+aT2/2,s3=（v0+2aT）T+aT2/2,……sn=[v0+（n-1）aT]T+aT2/2,s2-s1=s3–s2=……=Δs=aT2【例2】证明机械能守恒定律：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但总的机械能保持不变．证明：如图所示，取地面为零势能点，设物体只受重力作用，向下做自由落体运动。在位置1时速度为v1，高度为h1，在位置2时速度为v2，高度为h22/)vv(vvt02/t2/)vv(vvt02/t2由匀加速运动公式可得：v22-v12=2g(h1-h2)v12+2gh1=v22+2gh2mv12/2+mgh1=mv22/2+mgh2【例3】证明动能定理：合外力对物体所做的功等于物体动能的增加．证明：设一个质量为m的物体原来的速度为v1，动能为mv12/2，在恒定的合外力F的作用下，发生一段位移s，速度为v2，动能增加到mv22/2，设合外力方向与运动方向相同.由运动学公式v22-v12=2as得：s=(v22-v12)/2a合外力F做的功W=Fs，根据牛顿第二定律F=ma所以Fs=ma(v22-v12)/2a=mv22/2-mv12/2或W=EK2-EK1【例4】证明：导体切割磁感线产生的电动势ε=BLv.证明一：如图所示，假设垂直水平轨道放置的导体棒长L，以速度v在轨道上向右运动，设在Δt时间内棒由原来的位置ab移到cd，这时线框的面积变化量ΔS=LvΔt穿过闭合电路的磁通量变化量：ΔΦ=BΔS=BLvΔt由法拉第电磁感应定律：ε=ΔΦ/Δt,将上式代入得：导体切割磁感线产生的电动势：ε=BLv证明二：如图所示，假设导体棒长L，以垂直导体棒的速度v水平向右运动，有一垂直纸面向里的匀强磁场磁感应强度大小为B由左手定则可知：棒中自由电子e受洛仑兹力f=evB作用向下运动，使棒上下端产生电势差ε，形成的电场强度大小为E=ε/L当f=eE时，棒中产生稳定的电动势：ε=BLv【例5】求证：电流与自由电子定向移动速率的关系式I=neSv．证明：如图所示,设对一段导线通以强度为I的电流，导线截面积为S，电子定向移动速率为v，单位体积内自由电子数为n，通电时间为t则在这段时间内，自由电子定向移动的距离为L=vt通过导线截面的电量为q=enV=enSL=neSvt所以电流为I=q/t=neSv【例6】证明：洛仑兹力公式f=qvB.证明：设导线中单位体积内含有的自由运动电荷数是n，每个自由电荷的电量是q，自由电荷的平v3V1V2FF均定向移动速率是v，导线的横截面积是S，那么通过导线的电流就是I=nqvS磁场对电流的作用力是F=ILB．这个力可看作是作用在每个自由运动电荷上的洛仑兹力的合力，设洛仑兹力为f，这段导线内自由运动电荷的总数为N，则Nf=F，即Nf=ILB代入I=nqvS，得到Nf=nqvSLB又N等于单位体积内的运动电荷数跟体积的乘积，即N=nSL因此上式简化为f=qvB【例7】证明：万有引力定律F=GMm/r2证明：设有两个孤立物体质量分别为M、m，相距较远间距为r，m绕M作匀速圆周运动周期为TM对m的万有引力F提供向心力：F=m(2π/T)2r①由开普勒第三定律：r3/T2=常数②由①②得：F=(2π)2m(r3/T2)/r2即F∝m/r2③由牛顿第三定律可知：m对M的万有引力大小也为F，且具有相同的性质所以，m对M的万有引力F∝M/r2④综合③④得：F∝Mm/r2万有引力定律F=GMm/r2(其中G为引力常量)【例8】(1)试在下述简化情况下，由牛顿定律和运动学公式导出动量定理表达式：一个运动质点只受到一个恒力作用，沿直线运动。要求说明推导过程中每步的根据．．．．．．．．．．，以及最后结果中各项的意义．．．．．．．．．．．解：(1)如图所示,一物体放在光滑的水平面上,设在恒力F的作用下,开始时物体的初速度为V1,经过t时间后,物体的速度变为V2由牛顿第二定律得：Fam①由运动学公式得:21vvat②由①②可得:21vvFtm,由此式变形得:21Ftmvmv式中:Ft表示物体在t时间内物体受到合外力的冲量；2mv表示物体在这段时间的末动量；1mv表示物体在这段时间的初动量【例8】．求证：半径公式r=mv/Bq，周期公式T=2πm/Bq证明：如图所示，设一带电粒子质量为m，带电量为q，匀强磁场的磁感强4m度为B，粒子做匀速圆周运动的向心力为洛仑兹力，即Fn=qvB=mv2/r所以运动半径为r=mv/Bq．根据周期公式T=2πr/v,将r=mv/Bq代入得带电粒子的运动周期为T=2πm/Bq．【例9】如图所示，弹簧的一端固定在墙上.另一端连结一质量为m的木块，今将木块向右拉开一位移L后释放，木块在有摩擦的水平地面上减幅振动.弹簧第一次恢复原长时，木块速度为0v，试讨论：木块在整个振动过程中出现速度为0v的位置有几个.分析和证明：在整个振动过程中出现速度为0v的位置有且只有2个.释放木块后，木块在水平方向上的弹力和摩擦力同时作用下，先向左作加速度变小的加速运动.后向左作加速度变大的减速运动.在弹簧原长位置的右侧0x处（mgkx0），一定存在一加速度为零的位置（平衡位置），此位置向左的速度最大.根据速度变化必须是连续的原理可知，既然左侧有一0v，其右侧也一定存在一0v的位置.在弹簧第一次恢复原长，木块速度为0v时，系统振动的能量2021mvEEk，此后的运动由于摩擦的作用，系统振动能量不断减小，EE，设此后振动中任一时刻的速率为xv即2022121mvEmvpx所以xv＜0v，且不断变小，直至停止振动为止.【例10】如图1所示：一根导体棒oa长度为L，电阻不计，绕o点在垂直于匀强磁场B的平面内以角速度ω做匀速圆周运动，求其产生的电动势。解法一：假想电路法假想导体棒与一个定值组成闭合回路（如图2所示），利用法拉第电磁感应定律公式求解。此公式在高中阶段一般用于求感应电动势的平均值，不用来求瞬时值，但本题中棒切割磁感线的角速度恒定，产生的感应电动势大小也是定值，故平均值与瞬时值相同，可以用此公式求金属棒产生电动势的瞬时值。假设棒与某个电阻R组成了一个闭合回路，经过时间△t，棒转过了角度θ，则闭合电路的磁通量增加量为：5由楞次定律可知，闭合电路的磁通量在增大，感应电流的磁场应垂直纸面向外。如果形成感应电流，则方向由o→a，故电动势的方向o→a，a点电势高于o点电势，a点相当于电源的正极。解法二：利用法拉第电磁感应公式的导出公式E=Blv求解。由于杆上各点的线速度都不相同，并且各点的线速度大小正比于该点到o点的距离。o点速度为零，a点速度最大，为ωl，则整个杆的平均速度为2ωl，相当于棒中点瞬时速度的大小。产生的电动势由右手定则可以判断电动势的方向为o→a，a点的电势高于o点的电势，即a点相当于电源的正极。由于解法二比较简洁，故以下拓展在不涉及能量转化问题时均用解法二。【例11】质量为m的物体与地心的距离为r时，物体和地球间引力势能可表示为PGMmEr（设物体在离地球无限远处的势能为零），其中G为引力常量，M为地球质量。当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，这个速度叫做第二宇宙速度。证明：第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系为v2=2v1。【例12】：设计物理情境用牛顿运动定律推导动量守恒公式。如下图所示，在光滑的水平面上做匀速直线运动的两个小球，质量分别为1m和2m，沿着同一个方向运动，速度分别为1v和2v（且12vv），则它们的总动量(动量的矢量和)2211vmvmp。当第二个球追上第一个球并发生碰撞，碰撞后的速度分别为'1v和'2v，此时它们的动量的矢量和，即总动量'22'11'2'1'vmvmppp。下面从动量定理和牛顿第三定律出发讨论p和p′有什么关系。6【推导过程】：根据牛顿第二定律，碰撞过程中两球的加速度分别是：111mFa，222mFa根据牛顿第三定律，F1、F2大小相等、方向相反，即：F1=-F2所以：2211amam碰撞时两球之间力的作用时间很短，用t表示，这样，加速度与碰撞前后速度的关系就是：tvva111，tvva222把加速度的表达式代入2211amam，并整理得：22112211vmvmvmvm上述情境可以理解为：以两小球为研究对象，系统的合外力为零，系统在相互作用过程中，总动量是守恒的——即动量守恒表达式。下面留几个问题给同学回归课本自己再思考，并希望能够动笔自己尝试去推导：（1）摩擦生热公式的推导证明：QfLg相对（2）月球第二宇宙速度的推导和证明：（3）闭合电路中输出功率P外随外电阻的变化关系公式的推导，以及当内外电阻相等时有最大功率，最大功率的值是多少。（4）证明电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关。（5）在机车启动过程中去证明瞬时功率的表达式。（6）证明单摆在角度很小的情况下，才能认为是简谐运动？（7）推导斜抛运动的轨迹方程和水平射程表达式。【2015安徽高考猜想题】质量为m的物体与地心的距离为r时，物体和地球间引力势能可表示为PGMmEr（设物体在离地球无限远处的势能为零），其中G为引力常量，M为地球质量。当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，这个速度叫做地球的第二宇宙速度。现在已知月球半径约1738公里，是地球的3/11。质量约7350亿亿吨，相当于地球质量的1/81，地球第一宇宙速度为7.9km/s。请同学根据以上信息和你所学习的知识，推导月球第二宇宙速度的表达式，并算出具体数值。（668.12）。